习题3.1ppt课件课堂实录

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直线的倾斜角和斜率、直线的方程

一. 教学内容：

直线的倾斜角和斜率、直线的方程

二. 本周教学重、难点：

1. 重点：

直线的倾斜角和斜率的概念、直线方程的几种重要形式。

2. 难点：

斜率的概念的学习，过两点直线的斜率公式的建立，直线方程的应用。

【典型例题】

[例1]（1）已知M（4，3），N（2，15）若直线l的倾斜角是MN的一半，求l的斜率

解：kMN153224

kMNtan22tan21tan

设l的倾斜角为

∴

22k15k1k2

k2k10

∴

2

∵

k0

∴

k152

（2）过P（1，3）的直线l与y轴的正半轴没有公共点，求l的倾斜角的范围。

解：tan3

∴

3

∴

2[0,3][2,)

（3）若直线l的斜率k1m(mR)则直线l的倾斜角的取值范围是什么？

2解：∵

km11

∴

[0,4](2,)

[例2] 过点P（1，4）作直线与两坐标轴正向相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求直线方程。

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xy1ab解：设（a0，b0）

141∵

过P（1，4）

∴

ab

144ab4ab(ab)(ab)()5529abbaba∴

4abba141当ab

∴

a3b6时，(ab)min9

xy1∴

36

即2xy60

[例3] 在ABC中，A（2，8），B（4，0），C（5，0）求过B且将ABC面积分成1:2的直线方程。

解：设l交AC于P点，则（1）AP1PC2；（2）AP2PC

5223x1128016y1131APPC22（1）当时，P（x，y）满足

16y3(x4)7∴

l：

即16x21y640

210x412y808123

（2）当AP2PC时，P（x，y）满足8y3(x4)8∴

l：

即x3y40

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1P2的交点P（不过P2）分P[例4] 设P1（x1，y1），P2（x2，y2）l：AxByC0，求l与直线P1P2的比。

x1x2y1y21P2的比为，则P（1解：设P分P，1）

Ax1x2yy2B1C011

∵

Pl

∴

∴

Ax1By1C(Ax2By2C)0

∵

Ax2By2C0

∴

Ax1By1CAx2By2C

当0时，P1，P2在l同侧

当0时，P1，P2在l异侧

[例5] 过点（5，4）作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个平方单位，求直线l的方程。

xy1(a0,b0)lab解：设直线的方程为

5415lb∵

过点（，4）

∴

a

即5b4aab

又直线l与两坐标轴围成三角形面积为5 1|a||b|5∴

2

则ab10

5a5b4aab2a5b4ab10∴

∴

或b2

∴

l的方程为：8x5y200或2x5y100

[例6] 求经过点A（3，4）且在坐标轴上截距为相反数的直线l的方程。

解：

xy1（1）当l在坐标轴上截距都不为零时，设方程为aa

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3413aa4将A（，）代入上式有，解得a7

∴

所求直线方程为xy70

（2）当l在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为ykx

将A（3，4）代入方程得43k，即即4x3y0

k44yx3

∴

3

[例7] 已知ABC的一个顶点A（4，2）两条中线所在直线方程为3x2y20和3x5y120，求ABC各边所在直线的方程。

解：∵

A（4，2）不在这两条中线上

∴

这两条中线应是边AB和AC上的中线

2x3x5y12032解3x2y20得y2

∴

ABC的重心G（3，2）

4x2x32332y2y323设B（x2，y2）C（x3，y3）

则

x2x36(1)yy34(2)

∴

2不妨设B在中线3x2y20上，点C在中线3x5y120上

x22x343x22y220(3)y43x5y120(4)y30

3∴

3

联立（1）（2）（3）（4）解得2即B（2，4）C（4，0）

∴

AB边所在直线方程为y242(x4)24即x3y100

AC边所在直线方程为y020(x4)44即x4y40

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BC边所在直线方程为y040(x4)24即2xy80

若调换B、C的位置，则BC边所在直线的方程不变，AB与AC的方程互换

[例8] 过定点P（2，1）作直线l，分别与x轴、y轴正向交于A、B两点，求使AOB面积最小时的直线方程。

解：显然所求l的斜率存在且小于0，设其为k（k0）则l为y1k(x2)

令y0得A（21k，0）令x0得B（0，12k）

∴

SOAB111|OA||OB||2||12k|22k

1111(2)(12k)(44k)2k2k

114k2()(4k)4k其中k0，k

1114kk4kk2时，k

即的最小值为4 当且仅当1(44)4S2OAB此时的最小值为

1y1(x2)2∴

所求直线方程为即x2y40

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一. 选择：

1. 已知直线l的倾斜角为120，则直线l的斜率是（

）

A. 3

B. 3

C. 333

D. 3

2. 已知l的斜率32，那么l的倾斜角为（

）

233arctan()arctan2

D. 2

A. 3

B. 3

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33. 直线l的倾斜角的正弦值为5，则l的斜率是（

）

3434

A. 4

B. 3

C. 4

D. 3

4. 若直线过（23，9），（63，15）两点，则l的倾斜角为（

）

A. 60

B. 120

C. 45

D. 135

15. 已知A（x，2），B（3，0）且AB的斜率为2，则x的值是（

）

A. 1

B. 1

C. 1

D. 0 6. 直线l的倾斜角为，且A. 3k0

023，则l的斜率k的范围是（

）

B. k3

C. k3或k0

D. k33或k0

7. 已知一直线倾斜角为arctan13，且直线过（1，2）则直线方程为（

）

B. x3y50

D. x3y70

A. x3y50

C. x3y50

8. 经过两点（1，1），（3，9）的直线在x轴上的截距是（

）

A. 3222

B. 3

C. 5

D. 2

二. 填空：

k1. l经过二、三、四象限，l的倾斜角为，斜率为k，则sin的取值范围是

。

2. 在y轴上的截距为6，且与y轴相交成45角的直线方程为

。

3. 若方程(2mm3)x(mm)y4m10表示一条直线，则m

。

4. 已知直线(a2)x(a2a3)y2a0在x轴上的截距为3，则在y轴上的截距为

。

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三. 解答题：

1. 过P（1，1）的直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l的斜率和倾斜角。

2. 已知l与3x4y70的倾斜角相等，且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求l的方程。

3. 过点P（4，2）作l分别交x轴，y轴正半轴于A、B两点，当AOB面积最小时，求直线l的方程。

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【试题答案】

一. 1. B

2. D

3. C

4. B

5. B

6. C

7. A

8. A

二. 1.（，1）

2. yx6

3. 1

4. 415

三. 1.

解：设A、B两点的坐标分别为（a，0）和（0，b）

∵

AB的中点坐标为（1，1）

a0120b1∴

2

即a2b2k20

∴

AB0(2)1倾斜角为135

2.

3解：直线3x4y70的斜率为4

∵

l与3x4y70的倾斜角相等

3∴

l的斜率为4

设l的方程为y344xb，l的横截矩为x3b

∵

l与两坐标轴围成三角形面积为24 1∴

2|43b||b|243

即b6

∴

l：y4x6

3.

x解：设l的方程为ayb1（a0，b0）

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42424211(ab)224

∵

P(4,2)在l上

∴

ab

∵

ab421ab2时，取“=”

∴

a8，b4时，SAOB最小

当

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