2.3 抛物线（通用）第二课时 公开课

2.3 抛物线

（第一课时）

教学目标：

1. 理解抛物线的定义

明确焦点、准线的概念

2. 掌握抛物线的方程及标准方程的推导

教学重点：

抛物线的定义和标准方程

教学难点：

抛物线的标准方程的推导

教学过程

一、复习引入：

师：同学们对抛物线已有了哪些认识？

生：在数学中，抛物线是二次函数的图象

师：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

生：在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．

师：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今

天，我们将突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线. 二、探究新课：

师：首先请同学们观看生活中的几组抛物线的实例；比如：拱桥、喷泉、投篮以及跳绳等等；但是数学这门学科不仅需要观察还需要实验；请同学们观察这样一个小实验：动画演示教材P64实验并提出问题：

问1：在点M运动过程中你能发现M满足的几何条件吗？

生：MF=MH，即点M与定点F和定直线L的距离相等

问2：在实验过程中那些量是定的那些量不是定的？

生：F和L是定的，MF=MH的关系没有改变；M随着H的运动而运动

|MF|M满足此几何条件形成的轨迹取一个名字——抛物线；师：我们给动点如何定义抛物线呢？

1,则点M的轨迹是抛物线。即若|MN|1.抛物线的定义：

: 强调：(1)定点F不在定直线上.

平面内与一个定点Fl和一条定直线l(l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

定点F叫做抛物线的焦点。定直线l 叫做抛物线的准线。

（2）“一动三定”；（3）定义实现了两个距离的转化. 师：当定点在定直线上时这时点的轨迹是什么？

生：经过定点的定直线的垂线；

师：类比椭圆、双曲线的学习；学习了一种曲线的定义之后自然而然我们要想去研究它对应的方程，

2.抛物线标准方程的推导

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师：求曲线方程的一般步骤是怎样的？

生：建立适当的平面直角坐标系，设动点的坐标为(x,y)写出动点满足的几何条件再将几何条件坐标化，列出方程④化简方程⑤证明；

y 师：很好！如果设焦点到准线的距离为常数P(P>0)如何建立坐标系,求出抛物线的方程呢？

y y 请同学们回忆我们以前说的建平面直角坐标系的原则（思考一会此处学生可以提出自己的建. 系方案）；提供三种方案共大家选择；选哪一种？

. . x x x

K F K O F K F

l l l

方案一

方案二

方案三

生：第三种

师：原因

生：简单

师：你能具体把每一种方案的方程计算出来比较吗？（此处抽三个同学上黑板演示）

师：你们太厉害了！方案三（y2=2px(p＞0)）比方案一（y2=2px-p2(p＞0)）和方案二（y2=2px+p2(p＞0)）确实要简单得多！我们把方案三的推导过程再现一下：

如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合.

设|KF|=p(p＞0)，那么焦点F的坐标为（为xp,0)，准线l的方程2p.

2设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合P{M||MF|d}

|MF|(x(xp2p)y2,d|x|,22p2p)y2|x|.22

将上式两边平方并化简，得y2=2px(p＞0)

①

从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足方程①；以方程①的解x,y为坐标的点到抛物线的焦点F(pp,0).的距离与到准线x.的距离相等，即以方程①的解22pp,0).它的准线方程是x.其中p为正常数，它的几何22为坐标的点都在抛物线上，这样，我们把方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是(意义是焦点到准线的距离(焦准距)。

同学们学了线性规划就知道；一条直线可以把平面分成两个区域；刚才我们实验的是点在直线的右侧，那如果是点在直线的左侧呢？得出的方程会一样吗？还有刚才直线平行y

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轴；如果直线平行x轴呢?这个时候点可以在直线上方和下方；此时得出的方程又会是一样吗？请同学们自己探究这三种情况并完成P66探究表格（此处抽学生回答）并对方程的特征进行分析；

3.方程的特征分析

师：这是一个几元几次方程？二次项系数是多少？

生：而二元二次，系数为1；

师：切记标准方程的二次项系数都是1.那焦点的位置与什么有关呢？

生：x是一次项，则焦点在x轴。Y是一次项，焦点在y轴。

师：非常好，这四条抛物线的开口方向不一样，这开口与什么有关呢？

生：与一次项系数有关，如果为正，则开口朝向正半轴，如果为负，则开口朝向负半轴。

师：非常好(very

good)；焦点的坐标，准线方程都是用这个p来表示，那它们具体的倍数关系是多少呢？

生：一次项系数为焦点非零坐标的4倍. 师：太好了！特征都被你们分析透了；看来大家都掌握的不错了哦！到底是不是呢!我们马上见分晓。

三、知识应用

例1：(1)已知抛物线的标准方程是

y2 = 6x，求它的焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的标准方程是

y= 6x2,求它的焦点坐标和准线方程；

(3)已知抛物线的焦点坐标是F(0, －2)，求它的标准方程; (4)已知抛物线的准线方程是x1，求它的标准方程。

解：（1）因为p=3,所以焦点坐标是(,0),准线方程是x.

（2）将y= 6x2化成标准式x232321111y，则p，所以F0,，准线方程y；

1262424p2,p4,所以所求抛物线的标准方程是x2=－8y. 2p2（4）因为准线方程是x1；所以1，则p2，所以标准方程为y4x。

2（3）因为焦点在y轴的负半轴上,并且由例1反思研究：已知抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程；先定位，后定量

例2：求过点A(－3，2)的抛物线的标准方程. 解：当焦点在y轴的正半轴上时,标准方程:x2 =2py(p>0),把A(－3，2)代入x2 =2py，得p

∴抛物线的标准方程为x29

49y

2当焦点在x轴的负半轴上时,标准方程:y2

= －2px,把A(-3，2)代入y2

= －2px (p>0) ，242，∴抛物线的标准方程为yx

339422综上所述,所求抛物线的方程为:xy或yx。

23得:p四、课堂练习

1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1)y2 = 12x

(2)x21y

(3)2y2 +5x =0

(4)x2 +16y =0 2- 3 -

2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：

(1)焦点是F(4，0);

(2)准线方程是x1

(3)焦点到准线的距离是3。

4五、课堂小结

知识方面：通过以下思考引导回顾本节主要学习内容：

思考1：满足什么几何特征的曲线可以称作是抛物线？

思考2：抛物线的标准方程有哪些形式？它们的开口方向，标准方程，焦点坐标，准线方程分别是什么？

思考3：标准方程中P的几何意义是什么？

思考4：如何求抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程？注意什么？

思想方法方面：

数形结合、分类讨论以及解析法等思想方法

六、作业布置

教材P67:1、2，P73：1、2 七、板书设计

§2.4.1抛物线及其标准方程

1.定义…

3.P的几何意义…

4.例题

强调…

2.抛物线的标准方程…

特征…

八、教学反思总结

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