3.1.3 导数的几何意义ppt配套的教案及板书设计

3.1.3导数的几何意义教学设计

古蔺县中学校

胡杨

教学目标：

1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

2．理解曲线的切线的概念；

3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；

4．体会化曲为直的极限思想。

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义．

教学过程：

一．创设情景

（一）平均变化率、割线的斜率

（二）瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数f(x0)的几何意义是什么呢？

二．新课讲授

（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当P)(n1,2,3,4)n(xn,f(xn)曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

图3.1-2 沿着我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位

1

置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

⑵切线PT的斜率k为多少？

容易知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点Pxnx0x0时，kn无限趋近于切线PT的斜率k，即klimf(x0x)f(x0)f(x0)

x说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数.

（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率，

即

f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求出函数在点x0处的变化率f(x0)lim在点(x0,f(x0))的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程. 三．典例分析

题型一：导数的几何意义的概念

例1. 下列说法正确的是（ C ）

2 x0f(x0x)f(x0)k

，得到曲线x

A.若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处就没有切线；

B.若曲线yf(x)在点(x0,f(x0))有切线，则f(x0)必存在；

C.若f(x)不存在，则曲线yf(x)在点(x,f(x))处的切线斜率不存000在。；

D.若曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线。

例2. 如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是

yx8，

则f(5)f(5)= 2 . 题型二：确定曲线在一点处的切线方程

2例3.（1）求曲线y=f(x)=x+1在点P(1,2)处的切线方程.

2（2）求函数y=3x在点(1,3)处的导数. (3)求过点P（-1，0）且与抛物线y=x+x+1相切的直线方程。

2[(1x)21](121)2xx2lim2, 解：（1）y|x1limx0x0xx所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y22(x1)即2xy0

3x23123(x212)limlim3(x1)6

（2）因为y|x1limx1x1x1x1x1所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y36(x1)即6xy30

(3)切点为（0,1），切线方程x-y+1=0. 四．课堂练习

1.在曲线y=x上的 处的切线倾斜角为2。 （ D ）

4A.（0，0） B.（2，4） C.（21111，） D.（，）

416242.已知抛物线yxbxc在点（1，-1）处的切线方程为y=x-2，那么b=

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-1 ，c= -1 。

3.过点P（-1，2）且与曲线y3x24x2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是 2x-y+4=0 。

4.已知抛物线y=x，

（1）求过点（1，1）的切线方程；

（2）求过点（2，3）的切线方程；

（3）求与直线y=4x-5平行的切线方程。

五．回顾总结

1．曲线的切线及切线的斜率；

2．导数的几何意义

六．布置作业

2

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