复习参考题优质课教案

高三二轮复习：《圆锥曲线离心率的求值问题》教学设计

一、教学内容分析

圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础. 二、学生学情分析

本课的学习者是高三学生，本节是圆锥曲线与方程这一章的一个小专题，在之前学生学习了椭圆与双曲线这两个内容，为学习本节课打下了一定的理论基础，因此理论上学生应该不难理解本节课。本节课宜采用先从基础知识切入再根据实际问题探索解决问题的方法的教学方法，要让学生通过自己的思考总结求圆锥曲线离心率的方法，这样既能激发学生学习数学的兴趣，又能提升学生的思维能力和学习能力。空间思维能力对本节学习至关重要，通过对以往知识的复习和具体问题的应用总结常用的求离心率的方法，本节重难点还在于在分析时要能将实际的问题与以前的知识相联系。要使学生能够掌握求离心率的方法。

三、教学目标

1、知识与技能：

（1）掌握椭圆、双曲线的定义式、离心率的定义及求离心率的基本方法; （2）能有意识的应用数形结合思想和方程思想方法，通过分析椭圆、双曲线的基本量“a、b, c”之间的关系，几何图形的等量关系和已知等式列出某个关于a、b、c 三个中任意两个或三个间的等量关系式；

（3）能应用转化与化归思想方法，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力。

1

2、过程与方法：

让学生通过直观感知,操作确认的方法探究圆锥曲线性质的相互转化运用,发展学生的空间想象能力,培养学生转化与化归的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观：

（1）感受数学就在身边,提高学生的学习兴趣,培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神,并形成良好的思维习惯。

（2）培养学生动手做数学的意识,感受数学与实际生产、生活的联系和作用,让学生在探究过程中体会从多角度、多侧面看待问题的方式

四、教学重点、难点

重点：掌握圆锥曲线离心率求值的几种方法。

难点：如何根据已知条件构造关于a,c的齐次等式。

五、学法与教法

1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解并应用。

2、教法：针对本节课知识的特点直观教学法、引导发现法。在教学中,通过创设间题情境,充分调动学生学习的积极性和主动性,并引导启发学生动眼、动脑、动手同时采用多媒体的教学手段,加强直观性和启发性,解决了教师“口说无凭”的尴尬境地,增大了课堂容量,提高了课堂效。

六、教学过程

1、创设情境，导入新课。

（1）向学生说明离心率在近5年的全国新课标卷中的试题分布，引起学生的重视。

（2）高考中考查离心率试题主要分为两类，一类是根据一定条件求离心率的值，另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围。今天我们先来学习第一类。

（板书课题）

2、知识回顾

2

复习圆锥曲线中与离心率相关的简单的几何性质。

对称性

焦点坐标

离心率

椭圆

双曲线

抛物线

3、能力提升：（典型例题及方法）

课前热身：

准线方程

渐近线方程

（1）、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率e= 。

（2）、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率e= 。

（3）、若椭圆的

两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率e= 。

学生活动：引导学生回忆，互相交流，教师总结。

【设计意图】：通过测试，了解学生对椭圆和双曲线的定义式及相关量间的关系、三角形的相关应用、根据转化与与化归思想方法化简求值以及分类讨论思想的掌握情况. 例题研讨,方法总结。

（一）直接法，直接求出a ,c, 求解e 例1、已知椭圆方程为x

课堂练习：1、如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( ) 363A. B. C. D2 2222、【2018年全国I卷文4】已知椭圆：x的离心率为( ) y2，则1的一个焦点为（2，0）2a42y21，求椭圆的离心率；

1682C

3

A. 1 B. 1 C.3222 D.22 3点睛：题中考查的是有关圆锥曲线的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题目的条件中判断与之相关的量，结合圆锥曲线中的关系求得结果. 变式练习：

x2y21、双曲线2﹣2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ) ab3A.2 B.3 C.2 D.

2x222、已知双曲线2y1（a0）的一条准线与抛物线y26x的准线重合，则a该双曲线的离心率为（ ）

A. 32 B. 32 C. 62 D. 233

小结：使用直接法，即直接利用定义，求出a、c 代入e计算。注意椭圆和双曲线中的 a、b、c三者的关系。

学生活动：教师引导学生思考、探究、讨论、交流，动手动脑总结提高。

【设计意图】:层层递进，以求离心率常见题型，逐步加深概念的理解，灵活应用已学知识进而求出深层次问题，提高学生的能力。

（二）结合平面几何质采用离心率公式及圆锥曲线的定义整体求出e 例2. 已知双曲线x2心率为（ ）

A. 5

3变式练习：

1、若双曲线x（A）73y2421(a0,b0)的一条渐近线方程为，yx则双曲线的离3ab2

4B.

3

C. 5

4

3D.

2y21的一条渐近线经过点a2b22则此双曲线的离心率为（ ）

3,4， （B） （C） （D）

5443532、(2018全国Ⅱ卷,文11)已知椭圆的两个焦点为F1和F2，P为椭圆上一点

，

4

且PF1⊥PF2

，

∠PF2F1 =60°，求该椭圆的离心率。

变式：

已知点P是以x2F1,F2为焦点的椭圆2ay2+2b =1(a>b>0)上一点,若PF1⊥PF2,tan∠PF2F1=2,则椭圆的离心率e等于(

) (A)53

(B)1

(C)2

(D)1

332小结：依据a,b,c,e的关系，构造关于a,c的关系式，解出e即可，但要注意椭圆离心率范围是01。

学生活动：教师引导学生思考、探究、讨论、交流，动手动脑总结提高。

【设计意图】:新课程改革的理念之就是学习方式的转变。现代学习方式的基本特征包括“体验性”,强调学生亲身去经历、去感悟。让学生从听老师讲解推导转向学生自己动手进行数学表示、推导演算,体现“做数学”的现代数学教有理念。

（三）构造关于a、c的齐次式，解出e 例3、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）

A. B. C. D.

练习：1、设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）

（A）2 （B）3 （C）31 （D）5122

45352515x2y22、

设双曲线2﹣2＝1(0

5

23A.2 B.3 C.2 D. 3小结：数形结合，利用已知条件，建立关于a,c的齐次方程，转化为求e的方程。解题关键是在图形中找到关于a和c的关系式，若找到的是关于a和b的关系式，可以想方法把b转化为c来计算。

解题步骤：

（1）仔细审题，画出正确的图形。 （2）据已知条件列出关于a、b、c的齐次方程。

（3）消去b，得到a、c的方程，求解离心率e。

学生活动：教师引导学生思考、探究、讨论、交流，动手动脑总结提高。

【设计意图】一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a，b，c，e的一个方程，就可以从中求出离心率．但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好的

七、课堂小结: 1.本堂课解决圆锥曲线的离心率的问题，属于圆锥曲线的几何性质的问题，在高考中一般考查：利用圆锥曲线的几何性质及方程和基本量间的关系，通过转化与化归、方程等思想方法，经过代换及运算解有关问题. 2.解决求圆锥曲线的离心率的问题一般需要利用正余弦定理、三角函数、勾股定理、三角形面积公式、向量的数量及运算、所给图形的等量关系式和已知等式，列出关于a、b、c三者中任意两个或三个元素间的等量关系式，再次利用基本量a、b、c的等量关系式代换出含有a和c的表达式，进而求出离心率. 解决焦三角形的问题一般步骤：1.作图

；2. 标出已知条件；3.结合有关条件

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和性质列出等量关系式：

八、作业设计

A组

1. 过椭圆xy2P1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点a2b22，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为( ) A．22 B．33 C． D． 12132. 设椭圆的焦点为F1,F2，以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点为P，若F1F22PF2，则椭圆的离心率为__________. 23. 设F1和F为双曲线x2a2y21(a0,b0)的两个焦点, 若F1，F2，P(0,2b)是正三角2b形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A．3 B．2 C．5 D．3 22B组

1. 设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________. 2.已知椭圆xy21(ab0)a2b22的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P．若AP2PB，则椭圆的离心率是( ) A．3 B．2222 C．1 D．1 323.已知双曲线x22y221(a0,b0)的两条渐近线均与C:xy6x50相切，则2ab该双曲线离心率等于( ) A．35 B．56 C．322 D．5

5C组

（2016全国Ⅲ理第11题）已知o为坐标原点，F是椭圆C:xy221(ab0)的左焦2ab2点，A，B分别为C的左，右顶点，P为C上一点，且PFx轴，过A点的直线l与

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线段PF交于点M，与y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）

A.1 1 2 3

B.C.D.3234设计意图:课后学习,让同学们进行课后深化和加深知识的记忆。

九、教学反思

1．把握教材内容，制定好教学策略

本节内容由问题引发让学生思考和讨论，再通过鼓励学生自己思考完成，让学生能够真正融入课堂。

让学生自己上黑板推导分析，不但锻炼了主动上黑板的学生，也让其他学生更积极的思考，把学生的思维完全融入课堂。

2.优点与缺点

①优点：学生参与课堂、自主推导、思考讨论问题的气氛很好，并且大胆得出正确的结果。

②缺点：本节内容较多，学生思考时间太长，设计了练习题，但没有足够的时间去完成，感觉不是特别满意。

3.对自己的反思

对这次的公开课存在的不足，我很是遗憾，但是从教学结果来看，教学目的已经达到，本节课利用创新教学的思路充分体现新课程的理念和特点，让学生通过各个环节的参与能够很好地掌握本节内容，在今后的教学中我会继续努力。

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