习题4.1ppt课件教学实录

空间直角坐标系的习题课的教学设计

授课教师：浙江省诸暨市湄池中学傅红梅

学情分析：

学生在立体几何以及平面直角坐标系的基础上学习了空间直角坐标系和两点间的距离公式。对于空间直角坐标系有了一定的了解，也能利用两点间的距离公式进行简单的应用。

但对于如何建系？如何熟练地表示空间任一点的坐标？没有形成一定的技能。

另外，更高层次上的思考：为什么要建系？建系有什么好处？建系可以来解决哪些问题？也没有去总结思考。

所以在认知上还存在缺陷。

我们学一块知识，有三个认知阶段。第一阶段是搞清楚是什么；第二阶段是怎么样；第三阶段是为什么。

显然，同学们对这块知识的学习仅仅停留在是什么，知识是零散的。所以本节习题课的目的是帮助学生建构知识网络，形成知识规律，不仅要知道怎么样去做，而且要知道为什么要这样去做，这样做有什么好处，可以来解决哪些问题。

教学设计：

一、

简单的知识回顾。

二、

提出学习空间直角坐标系的目的：可以来解决空间问题。

三、

分两步完成上述目标：

（1）

技能准备：建系写点（设点）

（2）

知识应用；通过具体实例，将空间问题转化为代数运算，解决空间两点间的距离问题。

四、总结反思。

三维目标：

1、建立合适的坐标系，能熟练表示空间任意一点的坐标。

2、掌握空间两点间的距离公式，能利用两点间的距离公式解决一些简单的问题。

3、通过建立坐标系，将空间几何问题转化成代数运算，体会“坐标法”的好处。

4、从思维锻炼上，体会类比思想、体验从特殊到一般再到特殊，从二维平面到空间三维的变化，从空间三维到二维的降维转化等。

教学重点：

熟练掌握空间一点的表示，利用空间两点间的距离公式解决一些简单的问题。

教学难点：

建立合适的坐标系，空间动点和有条件的点的表示。利用空间两点间距离公式解决一些问题。

教学过程：

一、温故知新

思考：1、建立空间直角坐标系有什么要求？

2、空间直角坐标系中，右手拇指指向什么轴的正方向？食指指向什么轴的正方向？中指z 呢？ D1 C1 A1 B1

教师活动：板书课题，讲解知识。

空间一点M的坐标可以用有序实数组（x,y,z）来表示。

3、类比平面内两点间的距离公式，在空间，

两点间的距离公式是什么？

设计意图：从学生学情出发，回顾基础知识，做好知识准备。教学时，点明空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广。无论是点的坐标表示形式还是两点间的距离公式都是如此。这样做有利于学生建构知识网络，帮助基础差的学生找到一个知识落脚点。

4、请同学们思考学习空间直角坐标系有什么好处？学习空间直角坐标系可以来解决哪些问题？

设计意图：这个提问，起点有点高，对于基础差的学生根本没有头绪，他们也从来不会去想这个问题。对于基础好点的学生，他们能够体会到利用空间直角坐标系可以来求两点间的距离问题。

稍作思考后，接下去，我通过滚动图片展示了2018年4月12日的我国有史以来最大的海上大阅兵，提出一些实际问题。让学生认识到数学来源于生活，学好数学不仅能解决数学问题，而且还能更好解决实际问题。图片的展示可以吸引学生的眼球，同时增强数学课的趣味性，还进行了爱国主义教育。

同时，承上启下，提纲挈领指出：利用空间直角坐标系解决问题，首先要学会建系写点，所以今天的课分两步走：

一、技能准备：建系写点（设点）。这块知识的教学目的是对如何建系形成一定的认识，掌握坐标轴上和坐标平面内的点的特征，会写空间一点关于坐标轴和坐标平面的对称点。通过例题突破难点：空间某一点的坐标表示。

二、知识应用：通过实例，利用空间直角坐标系，将空间问题转化为代数问题，来解决空间两点间的距离问题。应用有三：先求两定点间的距离，判断三角形的形状，再在某条直线上求满足一定的距离关系的定点，最后从定点发展到动点，求距离的最值问题。难点是空间动点和有条件的点的表示。突破的方法是降维，将空间问题转化为平面问题，某条直线上的动点坐标分清楚哪些坐标是常量，哪些坐标是变量，横坐标、纵坐标和竖坐标之间有什么联系。

二、技能准备：建系写点

口答1：已知正方体边长为1，建立如图空间

直角坐标系，并写出各顶点的坐标。

口答2：已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为10,棱锥的高为12，建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标． D1 A1 z

C1 B1 D

x

C

B

y

A

解析：

P

DA

O

CB

反思感悟：

1、建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上．

②充分利用几何图形的对称性． 2、坐标轴上和坐标平面内的特征：

设计意图：从最简单又最重要的几何模型正方体入手，起点较低，切合学生的认知水平。选择正四棱锥模型，是为了更好地说明建系的原则，如何利用好对称性，体会建系方法并不唯一。然后由具体到一般，总结坐标轴上和坐标平面内点的一般特征。

口答3： 已知点 A(1,1,1)，则 z 点A关于x轴的对称点的坐标为( ) 点A关于y轴的对称点的坐标为( ) O y 点A关于z轴的对称点的坐标为( ) 点A关于平面xOy对称的点的坐标是（ ）

点A关于平面yOz对称的点的坐标是（ ）

点A关于平面zOx对称的点的坐标是（ ）

x 提问：在空间，关于点的对称问题有怎样的规律？ 反思与感悟

1、空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解。 2、对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论。

巩固 在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2,3,-4)两点的位置关于_____对称. P(2,3,4)，Q(－2,3,-4)的中点坐标是_____。

设计意图：遵循从特殊到一般再到特殊的认知规律，结合图形更好地解释空间点的对称性，化抽象为具体。再从结论形式上、在类比思想的引导下总结归纳空间点的对称性。同时回顾两点的中点坐标公式。

例1：正方体AC1，棱长为1，3|BP|＝|BD1| 则点P的坐标为（ ）

反思：不在坐标轴和坐标平面内的某一点如何表示？

x D1 A1 z C1 B1 D A P B C y 设计意图：关于点的表示从坐标轴上和坐标平面内的点，到空间点的对称问题，到空间某一点的表示，从特殊到一般，对学生的学习要求是一步比一步高，每一步后面都有反思归纳，这样做，不仅锻炼了学生的归纳总结能力，逐步掌握空间一点的坐标表示，同时完成了对建系写点这一基本技能的训练。

三、知识应用

例2：如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．

引申探究：1、点D、E、F构成什么三角形？

2、在C1C上求一点Q,使得△QED是一个以ED作为底边的等腰三角形。

设计意图：这个直三棱柱实际是正方体的一半，便于建系，通过这个例子，体会利用空间直角坐标系可以来求两定点之间的距离，判断三角形的形状，在某条直线上求满足距离条件的定点等问题。在一个几何体上完成三个小题，提高了模型的利用率。

例3、已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0

D M C B N A F E

设计意图：这个几何体实际上是由正方体的侧面和底面构成，便于建系。通过这个例子，体会利用空间直角坐标系可以来求距离的最值问题。本题的难点是M点和N点的表示，在上课的时候要给学生充分的思考时间，突破难点的方法是转化为平面内点的表示，体现了降维转化的思想。接下去通过跟踪训练加以巩固。

跟踪训练

如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上.当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上

运动时，求|PQ|的最小值. 反思与感悟

:距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，主要应用有 (1)求空间任意两点间的距离； (2)判断几何图形的形状； (3)利用距离公式求最值. 四、总结反思：

1、本节课复习了哪些知识？

2、如何建立空间直角坐标系？空间一点的坐标如何表示？

3、建立空间直角坐标系，有什么好处？

小结——提炼和反思

思想方法和能力培养： 1、类比思想。从平面直角坐标系到空间直角坐标系，从二维到三维。点的坐标表示，两点间的距离公式，两点中点坐标公式都体现了这一思想。 2、降维转化思想。从三维到二维，空间一点的坐标表示，将空间问题转化为平面问题，从而提高空间想象能力。 3、坐标法。为解决空间的问题插上“坐标”的翅膀。

设计意图：通过提问，回顾本节课的主要内容，学了什么知识，怎样去做，为什么要学，从而提升学生的认知水平。再对“坐标法”加以阐述，17世纪法国数学家笛卡儿和费马利用坐标法创立了解析几何，是数学史上的里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。从平面直角坐标系推广到空间直角坐标系，坐标法使得对空间几何的研究又一次腾飞，将空间几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究空间几何图形的性质，这种最基本的研究方法不仅能解决空间两点的距离问题，还能解决空间点、线、面之间的位置关系，所以利用“坐标法”研究空间问题今天才刚刚起步，在今后的学习中让我们再来领略“坐标法”的好处吧！这样做，不仅激发了学生的求知欲望，同时剖析了本节内容在教材中地位，解释了为什么而学，掌握这一基本的研究方法“坐标法”，好像为数学学习插上了“翅膀”，让学生对数学的研究飞得更高更远!

课后留白——延伸和拓展

1、点P(x,y,z)满足

，点P的轨迹是什么？

2、对于任意实数x,y,z，则

点拨：上述代数式有明显的几何意义，本题体现了数形结合的思想。

教学反思

通过复习基本知识点，为习题课的讲解做好铺垫。通过设置问题，创设大阅兵的教学情境，引导学生思考为什么而学。通过教具——正方体和正四棱锥，讲解建系要求，分析点在坐标轴上和坐标平面内的特征，通过食盐晶胞的示意图，分析点的对称问题，从具体到一般，尽量使得学生能够直观形象地掌握知识内容。涉及到知识应用，尽可能采用常规的几何模型，直三棱柱和两个正方形所在面互相垂直的模型都来源于正方体。

教学设计是阶梯性的，体现在建系上，从正方体建系到正四棱锥建系，在点的坐标表示上，由特殊位置点到一般位置的点的表示，在实例应用中，先求定点之间的距离到动点的变化求距离的最值，整个课堂设计上，先作技能准备再到实例应用，步步递进，好像游戏闯关一样，先买装备再打怪兽。整个课堂结构合理，思路清晰，抓住重点，在细节中突破难点，切合学生的认知水平。

本节课的亮点是为什么要学习空间直角坐标系问题的提出，这在习题课中是最核心的问题。习题课的目的是对所学知识进行归纳、整理、总结、提高。这个问题在整个教学环节中起到了承上启下的作用，本课堂用滚动图片的形式向学生们展示了2018年4月12日的海上大阅兵的宏伟场面，提出一些实际问题，让学生认识到数学和生活的紧密联系，学好数学不仅能解决数学问题，而且还能更好地解决实际问题。图片的展示吸引了学生的眼球，同时增强了数学课的趣味性，还进行了爱国主义教育。在课后总结反思阶段，再次提到了这个问题，遥相呼应。不仅有知识的总结，还有方法的指导，以及数学思想方法的指引。并为后续的数学学习做了铺垫，用“坐标法”还能来解决空间几何中的其它问题。从而激发学生的学习欲望，授之于“渔”而不仅仅是授之于鱼。体现了“生本”教育的理念。

本课堂在教学语言上，尽可能简明、清楚、易懂，内容衔接上自然过渡，并注重一些技巧，如重复、深入浅出、抑扬顿挫。对学生的回答给予及时的肯定和赞美，用眼神关注学生。在板书设计上，注意作图的规范性，板书设计合理，展现了本节课的主要内容。