复习参考题课时教案

圆与方程章末复习课

学习目标：

1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识；

2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，渗透数形结合的数学思想．

知识梳理：

1．圆的方程

(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．

2．点和圆的位置关系

设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外．

(2)(x0－a)2＋(y0－b)2

(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上．

3．直线与圆的位置关系

设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，半径为r，则d>r→相离；d＝r→相切；d

4．圆与圆的位置关系

设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则

位置关系

图示

d与r1，r2的关系

d>r1＋r2

d＝r1＋r2

|r1－r2|

d＝|r1－r2|

d<|r1－r2| 外离

外切

相交

内切

内含

5．求圆的方程时常用的四个几何性质

6．与圆有关的最值问题的常见类型

y－b(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．

x－a(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．

(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

7．计算直线被圆截得的弦长的常用方法

(1)几何方法

运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．

(2)代数方法

运用根与系数的关系及弦长公式

|AB|＝1＋k2|xA－xB|＝1＋k2[xA＋xB2－4xAxB]. 注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．

8．空间中两点的距离公式

已知点P1(x1，y1，z1)与点P2(x2，y2，z2)，则|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12. 典型例题：

类型一

求圆的方程

例1

根据条件求下列圆的方程：

(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；

(2)求半径为10，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为42的圆的方程．

解

(1)由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，

3x＋2y－15＝0，x＝7，∴由解得

3x＋10y＋9＝0，y＝－3.

∴圆心C(7，－3)，半径r＝|AC|＝65. ∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65. (2)方法一

设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

则圆心为(a，b)，半径r＝10，

|a－b|圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离d＝，

2由半弦长，弦心距，半径组成的直角三角形得：

a－b24222d＋()＝r，

即＋8＝10，

∴(a－b)2＝4，

222又∵b＝2a，

∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，

故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10. 方法二

设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，

∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上，∴b＝2a. 由圆被直线x－y＝0截得的弦长为42. 将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，

得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0. 设直线y＝x交圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝2[x1＋x22－4x1x2]＝42，

∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16. a2＋b2－10∵x1＋x2＝a＋b，x1x2＝，

2∴(a＋b)2－2(a2＋b2－10)＝16，即a－b＝±2. a＝2，a＝－2，又∵b＝2a，∴或

b＝4b＝－4.

∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10. 反思与感悟

求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为

第一步：选择圆的方程的某一形式；

第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；

第三步：解出a，b，r(或D，E，F)；

第四步：代入圆的方程．

注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线过切点等．

跟踪训练1

求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程．

解

方法一

设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，

b＝－4a，3－a＋－2－b＝r，则有|a＋b－1|2＝r，222

解得a＝1，b＝－4，r＝22，

故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 方法二

过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．

故半径r＝3－12＋[－2－－4]2＝22，

于是所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 类型二

直线与圆、圆与圆的位置关系

例2

已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为43，求l的方程．

解

如图所示，|AB|＝43，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，

∴|AD|＝23，|AC|＝4.

在Rt△ACD中，可得|CD|＝2. 设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的|－2k－6＋5|3距离公式：＝2，得k＝，

此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0. 24k＋1又∵直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0. ∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0. 反思与感悟

直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路：

(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．

(2)几何方法：若弦心距为d，圆半径为r，则弦长l＝2r2－d2. 解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线．

跟踪训练2

已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋3y＝0相切于点Q(3，－3)，求圆C的方程．

解

设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

圆心C(a，b)与Q(3，－3)的连线垂直于直线x＋3y＝0，且斜率为3. |a＋23b|＝r，由题意得b＋3a－3＝3，a－12＋b2＝r＋1，

a＝4，解得b＝0，r＝2，

a＝0，或b＝－43，r＝6，

∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36. 类型三

与圆有关的轨迹问题

例3

设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

解

如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，

xyx0－3，y0＋4.由于平行四边形的对，，则线段OP的中点坐标为线段MN的中点坐标为2222角线互相平分，

x0＝x＋3，xx0－3yy0＋4故＝，＝.从而

2222y0＝y－4.

又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，

9122128－，和－，(点P在直线OM上的情况)．

但应除去两点5555反思与感悟

求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．

(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．

(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

跟踪训练3

已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

解

(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．

因为P点在圆x2＋y2＝4上，

所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)，连接BN. 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 类型四

分类讨论在直线与圆中的应用

例4

已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程．

解

圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r＝5，

①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符合题意．

②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0. |－k＋2＋4k－3|282由题意可知()＋()＝52，

221＋k

4解得k＝－. 3即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0，

综上所述，满足题设的直线l方程为x＝－4 或4x＋3y＋25＝0. 反思与感悟

在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线方程时，根据题意不确定斜率是否存在，要分斜率存在与斜率不存在这两种情况进行分类讨论．

跟踪训练4

过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．

解

∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，

∴点A在圆外．

①若所求直线的斜率存在，

设切线斜率为k，

则切线方程为y＋3＝k(x－4)，

|3k－1－3－4k|因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，

所以＝1，

2k＋11515解得k＝－，

所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，

即15x＋8y－36＝0. 88②若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，

这时直线与圆也相切，

所以另一条切线方程是x＝4. 综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4. 达标检测：

1．如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2，则

(1)圆C的标准方程为___________________________________．

(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．

答案

(1)(x－1)2＋(y－2)2＝2

(2)－1－2 解析

(1)设点C的坐标为(x0，y0)，则由圆C与x轴相切于点T(1,0)知，点C的横坐标为1，即x0＝1，半径r＝y0.又因为|AB|＝2.所以12＋12＝y20，即y0＝2＝r，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2. (2)令x＝0得：B(0，2＋1)．设圆C在点B处的切线方程为y－(2＋1)＝kx，则圆心C到|k－2＋2＋1|其距离为：d＝＝2，解之得k＝1.即圆C在点B处的切线方程为y＝x＋(2＋k2＋11)，于是令y＝0可得x＝－2－1，即圆C在点B处的切线在x轴上的截距为－1－2.

2．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝23，则直线l的方程为________________________．

答案

3x－4y＋6＝0或x＝2 解析

(1)当直线l的斜率存在时，

设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，

即kx－y＋3－2k＝0. 作示意图如图，MC⊥AB于C. 1在Rt△MBC中，|BC|＝|AB|＝3，|MB|＝2，

2故|MC|＝|MB|2－|BC|2＝1，

|k－1＋3－2k|由点到直线的距离公式得＝1，

k2＋13解得k＝.

故直线l的方程为3x－4y＋6＝0. 4(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，

且|AB|＝23，

所以符合题意，

综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2. 3．圆x2＋y2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的距离的最大值为________．

答案

2＋2 |2|＝2，所以圆上的点到直2解析

因为圆x2＋y2＝4的圆心O到直线x－y＋2＝0的距离d＝线距离的最大值为d＋r＝2＋2. y4．如果实数x，y满足方程C：(x－3)2＋(y－3)2＝6，求的最大值与最小值．

xyy解

设方程(x－3)2＋(y－3)2＝6上的任意一点P(x，y).的几何意义就是直线OP的斜率，设xx＝k，则直线OP的方程为y＝kx. 由图可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值．

因为点C到直线y＝kx的距离d＝|3k－3||3k－3|，所以当＝6，即k＝3±22时，直线OP与k2＋1k2＋1y圆相切．

所以的最大值与最小值分别是3＋22与3－22. x

规律总结：

初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收

到意想不到的效果．

圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，经常使用的几何性质有

(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．

(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．

(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．