复习参考题教学目标设计

《球的体积和表面积》教学设计

湖南省涟源市第一中学 李志勇

一、

教学目标分析

知识与技能目标：

(1)了解球的体积公式和球的表面积公式的推导过程，体会其基本思想方法；

(2)会用球的体积公式V4R3和球的表面积公式S4R2解决有关问题

3过程与方法目标：

通过对球的体积和表面积公式的探求,提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力,培养学生勇于探索的精神；通过类比、归纳、猜想等合情推理渗透分割、近似、“极限”等思想。

情感、态度与价值观目标：

通过寻求如何研究球的体积和表面积的方法，培养学生将数学知识和生活实际相联系的意识和应用无限分割和极限思想的意识，进而在实施推导公式的过程中，对学生进行“以直代曲”的辩证唯物主义思想教育。

二、

教学重点、难点分析

重点：球的体积和表面积的计算公式的应用。

难点：如何推导球的体积和表面积公式。

三、教学方法分析

采用实验探索，启发式的教学方法。

四、教学背景分析

球的体积和表面积是在学生学习了柱体、椎体、台体的表面积和体积之后的内容，教材从简洁性出发，直接列出它们的公式，然后应用公式来解题。我在教学设计中，通过“球的体积和表面积”的教学，不仅要求学生熟记球的体积和表面积公式，更要培养学生观察、估算、猜想、构造和论证能力，并注意完善学生认知结构。把整个过程有机地串联起来，环环紧扣，层层深入，促进学生思维的展开，增强创新意识的培养。过程如下：

五、教学过程

教学环节

教学过程

设计意图

一方面唤起学生对球体的概念的认识，加深印象为本节做好必要的知识铺垫；另一方面，一、学生顿时议论纷纷，纷纷举手，提出：排水法、容积法、调动学生应用各学科的资源来创锥体法、浮力法、等积法等。

解决数学问题，体现了数学知识设教师对学生的方法表示赞赏。

渗透在其他学科中，它与其他学情

科是互相服务，密切配合的关境，

系。

提

出⑵教师设疑：有没有公式直接求球的体积呢？

激发学生推导球的体积公问式的兴趣。

题。

教学环节

教学过程

设计意图

⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的体积呢？

（

多媒体展示乒乓球、排球、篮球，提问：球的大小跟什么有关？

学生纷纷回答与球的半径有关

提问:已知球的半径为R，求V球=？

观察并思考：为了计算半径为R的球的体积，可以先计算半球的体积V半球，观察图1，你能用不等号表示V圆锥、 V半球、V圆柱这三个量之间的大小关系吗？

R R R R R R

图1

二、学生通过目测得到V圆锥、 V半球、V圆柱的大小关系V圆锥

察

思133提问:由于V圆锥=R、V圆柱=R是已知的，便得不等考，（提133式（板书）:

R

出3猜你能猜测V半球=? 想。

生:……

33师[提示一下]:(πR的系数“1”改写为“”,得3313R3

33师:可以大胆一些,准许猜错。

生: V半球 =R 对吗?

师:有一定理由,因为<

233123嘛!然而,这太冒险了。

333

通过观察学生身边熟悉的物体，并提出有启发性的问题，能够使激发学生的学习兴趣，使他们主动参与到学习中来，并体会到数学来源于生活。

从学生已有的认知结构出发（V圆锥、V圆柱的计算），把V半球与V圆锥、V圆柱类比,让学生目测大小,温故而知新,用以强化认识过程。

从直观大小关系的感受向“量化”过渡。

引导学生猜想。猜想是发现的开始，在适当的时候加以引导。

此答案不一定出自成绩最好的学生,而是胆大者,思维活跃者。

既鼓励,又提出更高要求,使学生仍处于激奋境地。

设计意图

教学环节

教学过程

二二、观察思考，提出猜想。

理、化、生都有实验,数学也可以有实验,美国盛行“数学实验教学法”,这对激发学生学习兴趣,

让学生发现并体验数学中的美，培养学习能力都十分有利。

鼓励学生将实验结果“量化”(构造一个等式)是十分重要的数学方法。

鼓励学生用数学工具去证明实验结果,学生兴趣盎然

图2 师:我们不妨做一个试验,用以验证这个猜想。

取一个半径为R的半球面,再取半径和高都是R的圆柱和圆锥各一个,都是塑料制成的容器。将圆锥放入圆柱内(图2),再同时等速向两个容器中注水,发现两个容器同时注满。

师:你能将实验结果用一个等式表达出来吗?

生1:[板书] V圆柱―V圆锥=V半球

生2:[板书] V半球=V圆柱

―V圆锥=R-R=R

师:于是得(板书) V球=R

且V圆锥: V半球: V圆柱 =1:2:3 师:中学数学是建立在推理的基础上的,实验结果是否可靠?还要进行论证才行。

3133233433（课前已经布置学生通过上网或到图书馆查阅资料，了解祖三、暅原理，并阅读课本第30页至31页的“探究与发现”——

祖构暅原理与柱体、椎体的体积。

2造3133图2而右边几何体的体积=R-R=R。如果再参33照能证明它又符合祖暅原理中的“条件”。我们就可以将它做为体，半球的参照体（为了运用祖暅原理,所引入的几何体必须符合验两个条件:①它的计算公式是已知的②它符合祖暅原理的条证件：该几何体与原几何体要夹在两个平行平面之间,且用平行猜于这两个平面的任意一个平面去截时,截得的截面面积总相想。

等。符合以上两个条件的几何体可叫做原几何体的参照体。）

该几何体与半球同高(R),这说明它与半球可以夹在两个平行

平面之间,剩下的问题是要证明它与半球的等距截面的面积相

等。

教学环节

教学过程

祖暅原理是我国传统数学的一个非常重要的成就,它的介绍和应用不但可以使我们的学生受到优秀传统数学文化的熏陶、培养学生的探究能力；更可以激发学生的民族自豪感，激励学生发奋学习。

设计意图

图3

将图2的几何体倒扣过来得到图3，用与底面平行的任一

平面去截图3的两个几何体,截面分别是圆面和圆环面(图3)。

22如果截面与平面α的距离为l,那么圆面半径rRl,圆

环面的大圆半径为R,小圆半径为l,因此：

222

S圆=πr=π(R

–l),

三S圆环=πR2–πl2=π(R2

–l2),

三、所以S圆=S环

构

造根据祖暅原理,这两个几何体的体积相等,即

参

1

照V半球= 

R2gRR2gR3

体，

2从猜想到证明是“质”的验

R33升华!是学习数学的最重要的素证

质。

猜43R所以V球 =

想。

3

由此,“猜想”得到证明,可以写成定理形式:

定理:如果球的半径是R,那么它的体积是

43V球 =R

3

师:你准备怎样记忆这个结论呢? 不管是意义识记或是机械生1:我只要记住V圆锥: V半球: V圆柱 =1:2:3就行了。

识记,在这里都是有效的,都是师:还有其它的记忆方法吗? 可行的。根据各个学生的学习习生2:根据“注水实验”

133惯,不必强求一律。

V半球=V圆柱

―V圆锥= RR3

2R334 V球 =R3

3

教学环节

教学过程

设计意图

提问：刚才我们得到了球的体积公式，那球的表面积又如何求呢？是否也与球的半径有关呢？

学生顿时议论纷纷，纷纷举手，提出：与求圆柱的侧面积一样展球面、用类比割圆术法求圆的面积等。

教师对学生的方法表示赞赏。

（师:例如,将球体分割成许多“小锥体”,球心是这些“小四、锥体”的顶点, “小锥体”的底面不是平面,而是球面的一小应部分(是曲面)请看图4。

用

迁于是V球=许多“小锥体”之和,而这些“小锥体”的高可移，视为球半径R，又因为这些“小锥体”的发底面之和=球的表面积，

展

1v(S1S2LSiL)h提所以

球3高。

1

gS球gR

34

3激发学生推导球的表面积公式。

这不但得到了球的表面积公式，并且它使球的表面积公式的得出给人一种水到渠成的感觉，同时使人感到兴趣的是,拟小锥体与球体的这种“默契”, 这种内部的一致, 发展了学生的空间想象能力，给人们和谐的感觉,它不仅可以帮助人们记忆,还给人以和谐美的感受! 同时，向学生渗透微积分思想和化曲为直的思想。

又v球R3S球4R2即为球的表面积公式

图4 例1、（1）把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，

则大球半径是 ；

让学生巩固和加深所学内（2）如果球的大圆面积增大为原来的4倍，则球的表面积容并灵活运用。

增大为原来的 ___倍；体积增大为原来的 ___倍；

（3）两个球的体积之比是8：27，那么这两个球的表面积

（之比是______。

五、例2、如图5，已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离

深为球半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的表面积和体积

化

拓

展，

形

成

O

技

CBO'能。

A

图5

教学环节

教学过程

设计意图

六、提问：谈谈本节你学到了哪些知识，你有什么收获、体会归和疑问？

纳师生共同交流，总结本节的知识与思想方法：

小1．通过目测，猜想出球的体积公式，用实验的方法，得结，到球的体积公式，利用祖暅原理，证明了球的体积公式。

深2．利用类比转化、分割、化曲为直、近似、“极限”等数化学思想，推证了球的表面积公式。

新3．对球的体积公式和表面积公式的应用。

知。

4．立体几何问题转化为平面几何问题的思想。

1．

必做题：教材第28页练习题1,2,3；

七、2．

选做题

布（1）

教材第29页习题1.3B组题1；

置（2）

如图6半球内有一个内接正方体，正方体的一个面作在半球的底面圆内，若业，D'课正方体棱长为6，求A'C'后B'球的表面积和体积

D延COA

B伸。

图6

学生小结,可以逐步提高学生自我获取知识的能力。教师完善，使知识更系统化。

为了适应不同层次的学生的需求，设计了分层作业，教材中的基础练习题可以进一步巩固课堂所学的知识，选做题则可以发挥学生学习的自主性，同时也是遵守学生个体差异的体现。

六、教学设计评价

本节内容的教学过程如下: 1

提出问题V球=? 2

目测圆锥、半球、圆柱这三者之间的大小关系

3

得猜想：V半球2R3

34

注水实验——验证“猜想”

5

构造参照体，证明“猜想”

6

得定理·谈记忆

7

例题·小结·作业

我为什么要采取上面这几个环节？理由如下：

现在的教材是直接给出球的体积和表面积公式，于是,过程1~5都可以省略，师生的任务只是应用给出的公式解题，这就是“内化”过程。由于教材是把知识和方法用定论的形式直接呈现在学生面前,内化任务很快就完成。因此,这种做法的优点是直截了当,节约时间;缺点是学生缺乏一个完整的认识过程,把知识或方法不是作为“过程”而是作为“结果”直接抛给学生。长此以往,越“抛”越多,学生头脑中很难形成一个有效的认知结构,结果成绩分化,出现大量成绩不理想的学生。

反之,插入环节1~5,则球的体积与面积公式的得到就十分自然。从“目测”到“实验”, 这是强化“发现”,这种先发现后内化的过程又是在教师指导下进行的,教师的主导作用和学生主体地位得到了充分体现。

“目测”、“大胆猜想”、“实验”等环节，所有潜能生都有发言权,优生也不乏味;从“实验”到“构造参照体”, 随流而下,直闯关键(出现参照体),终达彼岸(得定理)。最后“谈记忆”,生动活泼,乃至升华; “小结提问”,余味不尽。

数学教学的实质是思维过程的教学, “直截了当”则掩盖了“思维过程”,把知识和方法不是作为思维过程暴露在学生面前,而是作为结果抛给学生,这种“奉送”的做法势必回避了数学思想的培养。长此以往,学生的数学素质很难得到提高，这是我们作为数学教育工作者值得思考的问题！