3.1直线的倾斜角与斜率（通用）ppt课件课堂实录

《直线的倾斜角与斜率》教学设计

新乐市第二中学

张红敏

一、教材分析：

本节是人教A版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。直线是解析几何中的一个基础概念，而直线倾斜角和斜率是直线的重要要素，是刻画直线倾斜程度的“形化”与“量化”，是平面直角坐标系内以坐标法的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是研究两条直线的位置关系，建立直线的方程，还是解决线性规划问题，以及讨论直线与圆锥曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

二、教学目标

1．知识与技能理解直线倾斜角与斜率的概念；掌握过两点直线的斜率的公式；初步体会几何问题代数化的过程及思想

2．过程与方法引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法.3．情感、态度与价值观（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.三、教学重点与难点

教学重点:直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学难点:斜率公式的推导. 四．教学设计

（一）新课引入

问题1：在平面直角坐标中，点可以用坐标表示，直线如何表示呢？

问题2：一条直线位置由哪些几何要素确定呢？

问题3：一点能不能确定一条直线？

问题4：这些直线的共同点是有公共点，但是有什么不同？

y l3 P O ll1 x

设计说明：通过一些列问题，自然生成寻找确定直线的几何要素的想法。

问题：应该怎样刻画直线的倾斜程度呢？

（二）新课讲解

1.直线倾斜角的概念：

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角（angle of inclination）

关键词：x轴正向，直线l向上方向

问题5：概念中有“当直线l与x轴相交时”，若直线l与x轴平行或者重合时，倾斜角是多少度？

定义无法解释，产生冲突，于是规定：当直线l与x轴平行或者重合时，倾斜角为0°

倾斜角的取值范围是：[00,1800)

课堂练习：

1.下列四图中，表示直线的倾斜角的是( ) yay

oA y

oaC D

解决开始提出的问题:除了两点能确定一条直线，一点一方向也能确定一条直线。

2.直线的斜率：

xxo

ayB oa

xx

问题6 倾斜角是从“形”的角度刻画了直线的倾斜程度，但是如何具体刻画直线的倾斜程

度呢？这就需要一个能够“量化”的量来刻画。大家再思考下：在日常生活中，有没有其他

表示倾斜程度的量？

如图:在日常生活中，我们常用坡度来表示倾斜程度。我们可以将实物图抽象成我们熟悉的几何图形。在Rt△ABC中，若将AB所在直线看成x轴的正方向，则角是直线的倾斜角。如图，角越大，坡度越大；坡度除了与角有关，与升高量和前进量间又有何关系？你能用角与升高量和前进量的变化之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？

D

C

升高量

A

前进量

B

3m

3m, 坡度越大，楼梯越陡．

坡度(比)＝升高量BCtan

=前进量AC由此类比生活中的坡度概念，想到用倾斜角的正切来定义直线的斜率。

问题7：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？

注意到直线倾斜角的范围是[0,180)，

00从正切定义中可以看出当90o时，正切值不存在，即此时斜率不存在

斜率的概念：我们把一条直线倾斜角的正切值叫这条直线的斜率(slope),通常用小写字母k表示。即：ktan(90o)

yoyaoyoxyoax

零度角

锐角

直角

0k0 为锐角k0

为直角k不存在 为钝角k03.过两点的直线的斜率公式：

问题8：两点确定一条直线，直线确定，倾斜角也就确定，斜率也就确定了，那么直线的斜率可以用直线上两点P1(x1,y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2）的坐标来表示，你能自己导出它们的关系吗？

设直线P1P2的倾斜角为（90），当直线P1P2的方向（即从P1指向P2的方向）向上时，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线相交于点Q，于是

点Q的坐标为（x2，y1）．



当为锐角时，QPP12,x1x2,y1y2,在直角QPP12：

tantanQPP12|QP2|y2y1

|PQ|x2x11xx钝角

当为钝角时，180QPP12,x1x2,y1y2,tantan(180)tan,在直角QPP12中：tan

已知两点P1(x1,y1), P2(x2, y2)，其中x1≠

x2过P1

P2 的直线的斜率为k|QP2|y2y1yyyy21tantan21|PQ|x1x2x2x1x2x11y2y1

x2x1公式特点：

(1)与两点坐标的顺序无关. (2)公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角. (3)当x1=x2时,公式不适用,此时α=90°. 例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角？

例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线l1,l2,l3,l4. 课堂训练：

1.已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则x等于( ) A.-1 B.1 C.-3 D.3 2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(

) A．α＋45° B．α－135°

C．135°－α

D．当0°≤α＜135°时，为α＋45°；

当135°≤α＜180°时，为α－135°

3.请标出以下直线的倾斜角.

yyyOxOxOx

4.已知a,b,c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的斜率及倾斜角. (1)A(a,c),B(b,c). (2)C(a,b),D(a,c). (3)P(b,b+c),Q(a,c+a). 5.画出经过点（0,2），且斜率为2与-2的直线

（三）归纳小结

1、直线倾斜角定义与取值范围

2、直线斜率的定义

3、直线的倾斜角与斜率之间的关系

4、两点间斜率公式

五

教学反思

通过本节课的学习，学生能很好地理解直线的倾斜角和斜率的概念，能较好地理解倾斜角和斜率是分别从几何与代数两个不同的角度来刻画直线的倾斜程度，从而理解解析几何中将几何问题转化代数问题进行研究的数学思想，并能在之后的学习中逐步利用这种思想来研究解析几何问题。

教学中紧紧把倾斜角与斜率概念的得出作为重点，强调学生在得到概念这一过程中的积极参与、主动探索。通过设计一些具有思考价值的问题，引导学生的思考步步深入，最后概念在头脑中呼之欲出，从而让学生感受到得出概念这一过程是自然的，是清楚的，是水到渠成的。之后通过一定的例题沟通数形关系，充分利用正切函数的图象，加深概念理解，明确可以用斜率表示直线的倾斜程度。但根据正切函数的定义域，并非所有的直线都有斜率。让学生逐步体会将几何问题代数化，用代数方法来研究几何问题的思想方法。