3.3.4 两条平行直线间的距离PPT专用教学设计内容

第八章

解析几何

第二节

两条直线的位置关系和距离公式

[知识重温] 一、必记知识点

1．平行与垂直

若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：

(1)直线l1∥l2的充要条件是①______________. (2)直线l1⊥l2的充要条件是②__________. 若l1和l2都没有斜率，则l1与l2平行或重合．

若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l1⊥l2. 若两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则

两直线平行⇔ A1 B2＝A2 B1 且

B1 C2≠

B2 C1 两直线垂直⇔A1 A2＋B1 B2＝0 2.两直线的位置关系与方程组解的个数

相交⇔方程组有唯一解，该解即为两直线的交点坐标。

平行⇔方程组无解

重合⇔方程组有无数解

3．三种距离

(1)两点间的距离

平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝⑥______________________. 特别地，原点(0,0)与任意一点P(x，y)的距离|OP|＝⑦__________. (2)点到直线的距离

点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝⑧________. (3)两条平行线的距离

两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝⑨__________ 4.三种直线系

⑴与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系Ax＋By＋m＝0 ⑵与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系Bx-Ay＋n＝0 ⑶过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系(A1x＋B1y＋C1）+λ（A2x＋B2y＋C2）＝0

（λ∈R）

（不包含直线l2）

5.对称问题

二、必明2个易误点

1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．

2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．

[典型例题]

考向一

两条直线的平行与垂直

[例1]

(1)已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m与l2：2x＋(5＋m)y＝8，若l1∥l2，则m的值为(

) A．－1

B．－6

C．－7

D．－1或－7

(2)a＝14是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线

(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]

由直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直得(a＋1)(a－1)＋3a×(a＋1)＝0，解得a＝14或a＝－1. ∴“a＝14”是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直”的充分而不必要条件．故选A. [答案]

A 练习：1．设直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

2. 曲线y＝(x＋a)ex在x＝0处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则a的值为(

) A．－1

B．0 C．1

D．2 考向二

距离公式及其应用

[例2]

直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为__________________．

[解析]

法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 由题意知|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，

即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－13. ∴直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．

法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－13，直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)．

∵P(－1,2)，∴斜率不存在．

即直线l方程为x＝－1. [答案]

x＝－1 点评：

距离的求法

(1)点到直线的距离

可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．

(2)两平行直线间的距离

①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；

②利用两平行线间的距离公式．

提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x，y的系数分别相等．

练习：已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为5，求直线l1的方程．

考向三

对称问题及其应用

[例3]

已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．

解：(1)设A′(x，y)，

由已知y＋2x＋1×23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，

解得x＝－3313，y＝413.∴A′－3313，413. (2)在直线m上取一点，如M(2,0)，

则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．

设M的对称点为M′(a，b)，

则2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1.解得M′613，3013. 设m与l的交点为N，

则由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0.得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)，

∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.

点评：处理对称问题的方法

(1)在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称，处理这种问题要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．

(2)处理直线关于直线的对称问题可以转化为点关于直线的对称问题来解决．

(3)直线关于点的对称都可以转化为点关于点的对称来处理．

变式：在本例条件下，求直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．

练***行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程为________________．

2. 已知直线l与点A(3,3)和B(5,2)的距离相等，且过两直线l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交点，求直线l的方程．