习题3.1教学实录

课题：《直线的倾斜角与斜率》习题3.1 讲评

课时：1课时（45分钟）

授课类型：习题课

设计理念：本节为习题课，通过学生平时习作及课后作业出现的情况，对“直线的倾斜角与斜率”内容进行要点回顾，结合课后习题及相关变式训练，设置多次学生活动，让不同层次的学生经历概念的形成、发展和应用过程，逐步形成数形结合与分类讨论的思想方法。

教材分析：本节课选自人教A版必修2第三章《直线与方程》中《直线的倾斜角与斜率》习题3.1。通过学生作业练习中存在的问题，继续加深几何和代数角度刻画直线倾斜角和斜率的认识，进行题型与方法的归纳总结，使学生更好掌握直线平行与垂直的判定及应用，并初步体会数形结合的数学思想。

学情分析：本节课授课对象为理科班学生，学生数学基础较好，经过前期训练，初步了解解析几何的相关知识。学生思维较活跃，善于交流，这些特点为本节课的有效教学活动开展提供了保障。

三维目标: 知识与技能：掌握斜率公式，会运用条件判断两条直线的平行与垂直。

过程与方法：结合习题分析讲解，通过斜率公式的进一步剖析，再次经历几何问题代数化的过程，渗透数形结合、分类讨论的思想方法，加强应用函数的意识，训练学生逆向思维的能力。

情感态度价值观：通过师生双边活动，培养学生严谨、辩证的思维习惯和勇于探索的良好品质，激发学生学习的兴趣。

教学重点：

①掌握倾斜角、斜率的概念及斜率公式应用。

②掌握斜率判定两条直线平行或垂直的方法。

教学难点：

如何形成“数形结合、分类讨论”的思想方法解决问题。

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教学过程：

一．与倾斜角、斜率相关的问题

倾斜角：当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α. 规定：直线与x轴平行或重合时，α=0. 取值范围：α∈[0°,180°）. 斜率：倾斜角不是90°的直线，倾斜角的正切值称为直线的斜率。

k=tanα,(α≠90°) 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线斜率公式

作业回馈

习题3.1 A组 1.已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角。

存在问题：（PPT展示）

错误原因：倾斜角取值范围理解不透彻

变式训练:已知直线l1的倾斜角α=15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1与l2向上的方向所成的角为120°，如图，则l2的倾斜角为 。

习题3.1 A组 2.已知四边形ABCD的四个顶点A(2,3)，B(1,-1)，C(-1,-2)，D(-2,2)，求四边形ABCD的四条边所在的直线的斜率。

习题3.1 A组 4.(1)m为何值时，经过两点A(-m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12？

(2)m为何值时，经过两点A(m,2)，B(-m,-2m-1)的直线的倾斜角是60°？

存在问题：（PPT展示）

错误原因：对于公式形式理解不透彻，出现“张冠李戴”；

对三角函数值记忆不够深刻，计算出错。

注意：公式中，与P1,P2的位置无关，只与两点横坐标之差的顺序有关（即x2-x1，y2- y1中x2与y2对应，x1与y1对应）。

问题推广：

1.

三点共线问题

习题3.1 A组 3.已知直线的斜率为k=2，A(3,5)，B(x,7)，C(-1,y)是这条直线上的三点，求x和y值。

2

5.已知A(1,2)，B(-1,0)，C(3,4)三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？

总结：斜率公式可以证明三点共线，前提是他们有一个公共点且斜率相等。

2.

综合问题

习题3.1 B组

5.过两点A(m2+2,m2-3)，B(3-m-m2,2m)的直线l的倾斜角为45°，求m的值。 6.经过点P(0,-1)作直线l，若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有交点，找出直线l的倾斜角α与斜率k的取值范围。

变式1 ：若上题中A的坐标更改为 (-1,0), 则直线l的倾斜角α与斜率k有何变化？

变式2 ：点M(x,y)在函数y=-2x+8的图像上，当x∈[2,5]时，求的取值范围。

二、两条直线平行与垂直的判定

几何关系

l1∥l2

l1⊥l2

作业回馈

习题3.1 A组

6.判断下列各小题中的不同直线l1与l2是否平行。

(1) l1的斜率为2，l2经过点A(1,2),B(4,8)；

(2) l1经过点P(3,3),Q(-5,3)，l2平行于x轴，但不经过P,Q两点；

(3) l1经过点M(-1,0),N(-5,-2)，l2经过点R(-4,3),S(0,5). 解答展示：（PPT展示）

解答注意：①两条直线的斜率是否存在（即先观察两点的横坐标是否相等，横坐标相等时特殊情况，应特殊判断）

②区分平行与重合，必须强调不共线才能平行（斜率相等也可推出两直线重合）。

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转化

代数关系

k1=k2

k1▪k2=-1

7.判断下列各小题中的不同直线l1与l2是否垂直。

(2) l1的倾斜角为45°，l2经过点P(-2，-1),Q(3,-6)；

(3) l1经过点M(1,0),N(4,-5)，l2经过点R(-6,0),S(-1,3). 解答展示：（PPT展示）

解答注意：

①若斜率存在且不为0时，求出斜率，利用垂直条件判断；

②若斜率不存在或为0时，可结合图形判断。

课堂练习

习题3.1 B组

2. l1经过点A(m,1),B(-3,4)，l2经过点C(1,m),D(-1,m+1).当直线l1与l2：

(1)平行；

(2)垂直；

分别求m的值。

归纳：在解决带参问题时，应特别注意斜率的判断（有没有存在，是否为0）

变式训练:已知P(-2,m)，Q(m,4)，M(m+2,)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，求m的值。

思考：若两直线垂直呢？

三、斜率的应用

作业展示：

习题3.1 A组

8. 已知A(1,-1 ),B(2,2),C(3,0)三点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD. 存在问题：（PPT展示）

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习题3.1B组

3.已知四边形ABCD的顶点 求证：四边形ABCD为矩形。

存在问题：（PPT展示）

归纳：

构图：初步判定位置（形状），为下面求解（证明）提供目标；

分析：结合已知信息，列式求值；

检验：根据结论作最终判定。

课堂解答

习题3.1B组

1. 已知点M(2,2)和N(5,-2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标。

课堂小结

1.识记：直线倾斜角、斜率公式 2.掌握：两直线平行与垂直的判定 3.理解：数形结合的数学思想方法 带参问题的分类讨论思想

5

板书设计

课题：

习题展示

1.与倾斜角、斜率相关的问题

练习展示

2．两条直线平行与垂直的判定

问题展示

3．斜率的应用

方法归纳：

课后作业

1.完成B组4. 已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(6,1),C(3,3),D(2,5)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形。

2.完成文档《课后作业》1-7

相关解答步骤

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