3.3.4 两条平行直线间的距离特级教师教学实录

3.3.4 两条平行直线间的距离

教学设计

一、教材分析

本节课是人教A版高中数学必修2课本108-109面的内容。“两条平行直线间的距离”是“点到直线的距离”的延续，是“直线与方程”这一章的重点内容，也是求空间的点线，线线，线面间的距离的重要工具，本节课应引起学生足够的重视。

二、学情分析

我校是一所农村普通高中，学生录取分数较低。数学基础普遍薄弱，接受新知比较缓慢，所以在教学上尽可能地降低难度，减缓坡度，多讲例题、多做示范、多方启发、诱导学生积极思考、探索、归纳、循序渐进，逐步完成教学目标。学生通过自学互学、质疑思辨、逐步理解定义、熟悉公式、练习巩固、课后提升，完成学习目标。

三、教学目标

1.知识与技能

理解两条平行直线间的距离的定义。

会用两种方法求两条平行直线的距离。

2.过程与方法

会用点到直线的距离公式，推导两条平行直线间的距离公式。

3.情感态度价值观

通过学习，使学生明白：两条平行直线间的距离可以转化为点到

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直线的距离来求解，运用联系的观点看问题；通过对两条平行直线间的距离公式的推导和归纳，培养学生积极探索，团结协作的精神。

四、教学重、难点

教学重点：两条平行直线间距离的求法。

教学难点：两条平行直线间距离的定义的理解。

五、教学过程

（一）情景导入

出示图片，提问：图为我们英山县的毕昇大道，路旁高楼林立，路灯相对而立，花坛整齐划一，请问灯杆的距离是多少米？花坛相距多少米？

启发学生：灯杆，花坛看成平行线。

两条平行直线间的距离怎么求呢？ （二）讲授新知

1.两条平行直线间的距离的定义：

垂线段：从直线外一点向直线作垂线，这点和垂足之间的线段，叫做这点到直线的垂线段。垂线段的长就是点到直线的距离。

P0

┐Q l 公垂线段：有两条平行直线，在一条直线上任取一点作另一条平行线的垂线，这点与垂足之间的线段叫做平行直线间的公垂线段。

2

P l1

┐

Q

l2

问题：公垂线段是两条平行直线的公共的垂线段，公垂线段的长是点到直线的距离吗？

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长，公垂线段的长是两点之间的距离，也是点到直线的距离。

问题：1、平行直线间的距离处处相等吗？

2、根据定义，能不能测出毕昇大道相邻的灯杆距离？学生讨论

学生讨论：灯杆距离可以看做是两条平行直线间的距离。

3、点到直线的距离怎么求呢？学生讨论。

4、已知直线l1:3x+4y-6=0；直线l2：3x+4y+3=0，直线l1与l2

的位置关系是什么呢？怎么求直线l1与l2距离呢？

在直线l1上任取一点A，A点到l2的距离是否等于l1与l2的距离呢？能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离呢？

（三）应用新知

例1：已知直线l1:2x7y80,l2:6x21y10, l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离。

分析：1.怎么判断两直线平行呢？

2.在直线l1上取点，怎么取点？取什么点才能使计算简单? 3.利用点到直线的距离公式计算。

解：l1的斜率k1，l2的斜率k2

3 2762

217

k1k2



l

//l12

取l1与x轴的交点A的交点坐标。

令y0，2x80，x4, 得A（4，0）

点A到直线l2的距离

d64210162212233532353

159l1与l2间的距离为2353

159学以致用：求下列两条平行线间的距离

（1）2x+3y-8=0， 2x+3y+18=0 （2）3x+4y=10， 3x+4y=0 （四）探究新知

已知两条平行直线l1:AxByC10与l2:AxByC20，能否求出l1与l2的距离呢？

学生讨论：

方法一：取l1与y轴的交点P，则P（0，为

C1A0BBC2C1），点P到l2的距离BdA2B2CCAB2212

方法二：在l1上任取一点P0(x0,y0)，则Ax0By0C10

Ax0By0C1

p0到l2的距离为dAx0By0C2AB22C1C2AB22C2C1AB22

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两条平行直线间的距离转化为一条直线上的一点到另一条直线的距离.即化线线距离为点线距离。

归纳：l1:AxByC10，l2:AxByC20

则l1与l2间的距离d尝试一下：

求下列两条平行直线间的距离：

（1） 2x+3y-8=0,

2x+3y+18=0 （2） 3x+4y=10, 3x+4y=0 （五）归纳提升

求两条平行直线间的距离有哪些方法呢？

（1）点线距离法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距离为点线距离。c2c1AB22

dAx0By0CAB22

（2）公式法：设两条平行直线：l1:AxByC10与l2:AxByC20，则它们之间的距离

dc2c1AB22。

(六)强化练习

1.求两条平行直线3x2y130与3x2y130间的距离。

2.两平行直线kx6y20与4x3y40之间的距离是多少？

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作业：

必做题：课本P110，8，9，10. 选做题：课本P110，B组，3，9. （七）板书设计

两条平行直线间的距离

公垂线段 dAx0By0CAB22 dc2c1AB22

课后提升

一．选择题

1．直线y＝x与直线x﹣y+2＝0的距离为（

）

A．2

B．

C．

D．

2．已知直线l1：3x+4y+5＝0，l2：6x+8y﹣15＝0，则两条直线之间的距离为（

）

A．4

B．2

C．

D．5

3．直线l1，l2分别过点M（1，4），N（3，1），它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是（

）

A．5

B．4

C．

D．3

4．已知直线l1：mx+2y﹣4﹣m＝0（m＞0）在x轴、y轴上的截距相等，则直线l1与直线l2：x+y﹣1＝0间的距离为（

）

A．

B．

C．或

D．0或

5．已知直线x+4y+a＝0与直线x+4y＝0的距离为1，则a的值为（

）

A．±2

B．±

6 C．±4

D．±

二、解答题

1.已知两条平行直线3x2y60与6x4y30，求与它们等距离的平行线的方程。

2.若动点A、B分别在直线l:xy70和l2:xy50上移动，求AB1的中点M到原点的距离的最小值。

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