3.1.2 导数的概念教学实录及点评

3．1.1&3.1.2 变化率问题

导数的概念

预习课本，思考并完成以下问题 1．平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？

2．瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？

3．如何用定义求函数在某一点处的导数？

[新知初探]

1．函数yf(x)从x1到x2的平均变化率

(1)定义式：yf(x2)f(x1)＝. xx2x1(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．

(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．

(4)平均变化率的几何意义：

设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线yf(x)上任意不同的两点，函数yf(x)的平均变化率yf(x2)f(x1)＝

xx2x1＝f(x1x)f(x1)为割线AB的斜率，如图所示．

x[点睛]

x是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即x＝x2－x1≠0，但x可以为正，也可以为负，x是一个整体，不可看成两部分．

2．函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率

定义式

实质

作用

f(x0x)f(x0)y＝lim

x0xx0xlim瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值

刻画函数在某一点处变化的快慢

[点睛] “x无限趋近于0”的含义

x趋于0的距离要多近有多近，即|x－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.

3．导数的概念

定义式

记法

实质

f(x0x)f(x0)y＝lim

x0xx0xlimf'(x0)或y'|xx00

函数yf(x)在xx0处的导数就是yf(x)在xx0处的瞬时变化率

[点睛] 函数f(x)在x0处的导数

(1)当x≠0时，比值yy的极限存在，则f(x)在点x0处可导；若的极限不存在，xx则f(x)在点x0处不可导或无导数．

(2)在点xx0处的导数的定义可变形为

f'(x0)＝limx0f(x0x)f(x0)f(x)f(x0)或f'(x0)＝lim

xx0xxx0[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数yf(x)在x＝x0处的导数值与x值的正、负无关(

) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量(

) (3)在导数的定义中，x，y都不可能为零(

) 答案：(1)√

(2)×

(3)×

2．函数yf(x)，自变量x由x0改变到x0＋x时，函数的改变量y为(

) A．

f(x0x)

C．f(x0)x

答案：D

3．已知函数f(x)＝2x－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从2

B．f(x0)x

D．f(x0x)－f(x0) A点到B点的平均变化率为(

) A．4

B．4x

C．4.2

D．4.02

答案：C 4．在f'(x0)＝limA．大于0 C．等于0 答案：C 【类型一：求函数的平均变化率】

12[典例] 求函数f(x)＝x在x＝1,2,3附近的平均变化率，取x的值为，哪一点附3近的平均变化率最大？

[解] 在x＝1附近的平均变化率为

x0f(x0x)f(x0)中，x不可能为(

) x B．小于0 D．大于0或小于0 f(1x)f(1)(1x)21k1＝＝2＋x；

xx在x＝2附近的平均变化率为

f(2x)f(2)(2x)222k2＝＝4＋x；

xx在x＝3附近的平均变化率为

f(3x)f(3)(3x)232k3＝＝6＋x；

xx117113119若x＝，则k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝，

3333333由于k1＜k2＜k3，故在x＝3附近的平均变化率最大．

类题通法

求平均变化率的步骤

(1)先计算函数值的改变量y＝f(x1)－f(x0)．

(2)再计算自变量的改变量x＝x1x0. (3)求平均变化率yf(x1)f(x0)＝. xx1x0[注意]

x，y的值可正，可负，但

x≠0，y可为零，若函数

f(x)为常值函数，则y＝0.

[活学活用] 已知函数f(x)＝x＋1，分别计算f(x)在[1,2]和[3,5]上的平均变化率，并比较两x

个区间上变化的快慢．

解：自变量x从1变化到2时，函数f(x)的平均变化率为自变量x从3变化到5时，函数f(x)的平均变化率为yf(2)f(1)1＝＝. 2x21yf(5)f(3)141＝＝.由于＜152x53114，所以函数

f(x)＝x＋在[3,5]的平均变化比在[1,2]的平均变化快．

15x【类型二求瞬时速度】

[典例] 一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t. (1)求此物体的初速度；

(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．

[解] (1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋t]，即[0，t]，

∴s＝s(t)－s(0)＝[3t－(t)]－(3×0－0)＝3t－(t)，

2222s3t(t)2s＝＝3－t，lim＝lim(3t)

t0t0ttt∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋t]，∴s＝s(2＋t)－s(2) ＝[3(2＋t)－(2＋t)]－(3×2－2)＝－t－(t)，

222st(t)2s＝＝－1－t，lim＝lim(1t)＝－1，

t0ttt0t∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1. 【类题通法】

1．求运动物体瞬时速度的三个步骤

(1)求时间改变量t和位移改变量s＝s(t0＋t)－s(t0)．

(2)求平均速度v＝s；

ts无限趋近于常数v，即为瞬时速度．

t(3)求瞬时速度，当t无限趋近于0时，2．求y (当x无限趋近于0时)的极限的方法

x(1)在极限表达式中，可把x作为一个数来参与运算；

(2)求出y的表达式后，x无限趋近于0就是令x＝0，求出结果即可． x[活学活用]

122一物体做初速度为0的自由落体运动，运动方程为s＝gt(g＝10 m/s，位移单位：m，2时间单位：s)，求物体在t＝2 s时的瞬时速度．

1122解：因为s＝g(2＋t)－g×2

2212＝2gΔt＋g(t)，

212gtg(t)2s12所以＝＝2g＋gt，

2tt当t趋近于0时，s趋近于2g，

t所以物体在t＝2 s时的瞬时速度为20 m/s. 【题型三

求函数在某点处的导数】

[典例] (1)函数f(x)＝1在x=1处的导数为________．

23x(2)已知函数f(x)在xx0处的导数为4，则

x0limf(x02x)f(x0)＝________. x11yf(1x)f(1)23(1x)231[解析] (1)因为＝=

xxx3xy3335(53x)＝＝，所以f'(1)＝lim=lim＝－. 25x0xx05(53x)x5(53x)(2) lim=lim[x0x0f(x02x)f(x0)

xf(x02x)f(x0)2]

2xf(x02x)f(x0)

2x＝2limx0＝f'(x0)＝2×4＝8. 3[答案] (1)－

(2)8 25【类题通法】

1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤

简称：一差、二比、三极限．

2．瞬时变化率的变形形式

x0limf(x0x)f(x0)

xf(x0x)f(x0)

xf(x0nx)f(x0)

nxf(x0x)f(x0x)

2x＝lim＝lim＝limx0x0x0＝f'(x0)．

[活学活用] 1．求函数yx1在x＝1处的导数．

x解：因为y＝(1＋x)－1－(1－1)

1x＝x＋x，

1x所以y＝xxx1x＝1＋1. 1xx当x→0时，y1→2，所以函数yx在x＝1处的导数为2. xxx02．已知f'(1)＝－2，求lim解：limf(12x)f(1). xx0f(12x)f(1)

xx0＝(－2)×limf(12x)f(1)

2x＝(－2)×(－2)＝4.

课后训练

1．已知函数f(x)＝1－2x从x＝1到x＝2的平均变化率为k1，从x＝－2到x＝－1的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(

) A．k1＞k2

C．k1＜k2

B．k1＝k2

D．不确定

解析：选B 由平均变化率的几何意义知k1＝k2.故选B. 2．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(

) A．2

解析：选B 由已知，得得m＝1，选B. 3．如果质点A按照规律s＝3t运动，则在t0＝3时的瞬时速度为(

) A．6 解析：选B ∵s(t)＝3t，t0＝3，

∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)－3·3

Δs2＝18Δt＋3(Δt).∴＝18＋3Δt. Δt∴lim22222

B．1

C．－1

D．6 s－s3－2＝26，即(5×3＋3m)－(5×2＋2m)＝26，解22 B．18 C．54 D．81 s＝lim (18＋3Δt)＝18，故应选B. t0t0t4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)＝axb(x)2 (a，b为常数)，则(

) A．f'(x)＝a

C．f'(x0)＝a

解析：选C f'(x0)＝lim B．f'(x)＝b

D．f'(x0)＝b

x0f(x0x)f(x0)

x＝lim (a＋b·x)＝a. x05．已知f(x)＝x－3x，则f'(0)＝(

) 2A．x－3 C．－3 B．(x)－3x

2 D．0 0(x)23(0x)0230解析：选C f'(0)＝lim

x0x

(x)23x＝lim＝lim

(x3)＝－3.故选C. x0x0x6.如图是函数yf(x)的图象．

(1)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________；

(2)函数f(x)在区间[2,4]上的平均变化率为________．

解析：(1)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f(2)f(0)＝20f(4)f(2)5－11.(2)函数f(x)在区间[2,4]上的平均变化率为＝＝2. 22421答案：(1)

(2)2 27．设f(x)＝ax＋4，若f'(1)＝2，则a＝________. 解析：∵f'(1)＝lim＝lim

x0x0f(1x)f(1) xa(1x)4a4＝a，∴a＝2. x答案：2 8．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______．

4428π33解析：∵y＝π×2－π×1＝，

33328π3y28π∴＝＝. 3x2－128π答案：

3129．求函数y＝2x＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝－时2该函数的平均变化率．

解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为f(x0x)f(x0)y＝

xx2(x0x)232x023＝

x4x0x2(x)2＝＝4x0＋2Δx. x11当x0＝2，Δx＝－时，平均变化率的值为4×2＋2×－＝7. 22

10．求函数yf(x)＝x＋x＋1在x＝1处的导数．

2解：根据导数的定义：

y＝f(1x)－f(1)

＝(1＋Δx)＋(1＋Δx)＋1－3 2＝(Δx)＋3Δx，

22yΔx＋3Δx则＝＝Δx＋3，

Δxx所以f'(1)＝limx02y＝lim (Δx＋3)＝3，

xx0即函数f(x)＝x＋x＋1在x＝1处的导数为3.