综合应用名师教学设计

9.6乘法公式的再认识——因式分解(二) 第3课时

提公因式法、公式法的综合运用

一、教学目标

1、进一步熟悉提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式。

2、学生能根据不同题目的特点选择较合理的分解因式的方法。

3、知道因式分解的方法步骤：有公因式先提公因式，以及因式分解最终结果的要求：必须分解到多项式的每个因式不能再分解为止。

4、通过综合运用提公因式法、运用公式法分解因式，使学生具有基本的因式分解能力。

5、综合运用所学的因式分解的知识和技能，感悟整体代换等数学思想。

6、进一步体会整式乘法和因式分解的对立统一的关系，体会“两分法”看问题的世界观。

说明

以前这部分内容是渗透到用平方差公式和完全平方公式因式分解的两节中，现在是作为独立的一课时，也就是综合运用提公因式法，运用公式法进行多项式的因式分解，对这部分内容的教学，要根据不同的题目，进行具体分析，灵活地运用各种方法来分解因式。教学时，让学生在观察、练习的过程中，主动归纳因式分解的方法步骤，探求并发现因式分解的最终结果的形式，使学生在主动探索的情境中，学会具体问题具体分析的方法，体会到成功的喜悦。

二、教学重点、难点

知道因式分解的步骤和因式分解的结果的要求，能综合运用提公因式法，运用公式法分解因式。

三、教具、学具

投影仪，条件较好的用实物投影仪或多媒体演示

四、教学过程

(一)设置情境

情境1

比一比，看谁算得快(投影) (1)65.52－34.52

(2)1012－2×101×1＋1 (3)482＋48×24＋122

(4)5×552－5×452 说明

学生已学过平方差公式、完全平方差公式及提公因式法分解因式。要求学生利用因式分解进行计算，其目的是复习提公因式法及公式法。

思考 (1)在计算过程中，你用到了哪些因式分解的方法？

(2)能用平方差公式、完全平方公式分解因式的多项式有什么特征？

(3)计算中(3)和(4)能直接用公式吗？((3)需变形为482＋2×48×12＋122，(4)需先提公因式，再用平方差公式) 情境2

分解因式①4a4－100(两名学生板演，也可以投影部分学生的答案) ②a4－2a2b2＋b4

说明

由于已学过平方差公式和完全平方公式的分解因式，学生不难想到用公式法分解因式，但很可有会出现分解不完全的情况。

1

如：4a4－100=(2a2＋100)(2a2－100)，a4－2a2b2＋b4=(a2－b2)2，教师正好借此引入本节课课题。

思考

(1)在解答这两题的过程中，你用到了哪些公式？

(2)你认为(2a2＋10)(2a2－10)和(a2－b2)2这两个结果是因式分解的最终结果吗？如果不是，你认为还可以怎样分解？

(3)怎样避免出现上述分解不完全的情况呢？(学生可交流) 情境3

把下列各式分解因式(练习) (1)ab2－2a2b－ab

(2)a2－1

(3)a2b2－4ab＋4

(4)a3－a 说明

练习的目的是回顾因式分解的方法，第(4)题学生在解答时可能有困难，教师可给予适当点拨。

思考

(1)你是怎样确定一个多项式的公因式的？具体方法由学生简述，教师补充说明。

(2)请写出平方差公式和完全平方公式。

(3)对于(4)a3－a提公因式a后，你认为a(a2－1)分解完全了吗？

情境4

(1)师生共同回顾前面所学过的因式分解的方法。

提取公因式法、运用公式法，并说明公因式的确定方法及公式的特征。

(2)整理知识结构图

提公因式法：

关键是确定公因式

因式分解

运用公式法

平方差公式：a2－b2=(a＋b)(a－b)

完全平方公式：a2±2ab＋b2=(a±b)2

说明

公式中a、b可以是具体的数，也可以是任意的单项式和多项式。

结论

多项式的因式分解，要根据多项式的特点，选择使用恰当的方法去分解，对于有些多项式，有时需同时用到几种不同的方法，才有分解完全。

(二)探索综合使用提公因式法、运用公式法分解因式的方法步骤：

1、先提取公因式后利用公式

例1

把下列各式分解因式(课本P93例5) (1)18a2－50

(2)2x2y－8xy＋8y

(3)a2(x－y)－b2(x－y) 分析

①先观察18a2－50，发现含有公因式2，因此可以先提公因式，再继续观察另一个因式9a2－25，能否再继续分解。

②注意(3)的公因式是(x－y) 解：(1)18a2－50=2(9a2－25)

(2) 2x2y－8xy＋8y

=2(3a＋5)(3a－5)

=2y(x2－4x＋4)=2y(x－2)2 (3) a2(x－y)－b2(x－y)=(x－y)(a2－b2)=(x－y)(a＋b)(a－b)

(2) (3)可由学生口述，教师板书

说明

(1)本题要先给学生时间观察，教师不要先说有没有公因式可提，而让学生通过观察，然后说明所采用的方法，公因式提出后，仍然由学生继续观察另一个因式，能否继续分解。

(2)当学生尝试将上述多项式分解因式后，教师再引导学生对解题过程进行回顾和总

2

结，培养学生良好的学习惯。

(3)归纳：将一个多项式分解因式时，首先要观察被分解的多项式是否有公因式，若有，就要先提公因式，再观察另一个因式特点，进而发现其能否用公式法继续分解。

2、两个公式先后套用

例2

(课本P94例6)把下列各式分解因式

(1)a4－16

(2)81x4－72x2y2＋16y4

解：(1)a4－16=(a2＋4)(a2－4)=(a2＋4)(a＋2)(a－2) (2)81x4－72x2y2＋16y4

=(9x2)2－2·9x2·4y2＋(4y2)2

先化成完全平方的形式，认准谁是公式的a，谁是b =(9x2－4y2)2

=[(3x＋2y)2(3x－2y)]2

←注意这不是结果

=(3x＋2y)2(3x－2y)2 说明：(1)本题还是由学生口述分解因式，在第一次用公式法因式分解后，得到的一个因式还可以用平方差公式，这一点在教学中，要让学生自己观察出来，而不是老师直接说，这样在因式分解中，学生才能更深刻地感悟出：分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止。

例3

(供选择)分解因式

(1)(a2＋b2)－4a2b2

(2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1 解：(1)(a2＋b2)－4a2b2

(2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1

=(a2＋b2)2－(2ab)2

=[(x2－2x)＋1] =[(a2＋b2)＋2ab][(a2＋b2)－2ab]

=(x2－2x＋1)2

=(a2＋b2＋2ab)(a2＋b2－2ab)

=[(x－1)2]2

=(a＋b)2(a－b)2

=(x－1)4

说明 (1)本题(1)中把a2＋b2，2ab看作一个整体，先用平方差，再用完全平方公式。

(2)把x2－2x看作一个整体，先用完全平方公式，再用完全平方公式，从本题的解题过程，让学生体会数学中“换元”的思想。

(3)本例还可以适当增加：(x2－6)(x2－2)＋4这种先变形后用公式的题型，体会数学中的化归思想。

(三)因式分解的应用

例4

阅读下列材料，然后回答文后问题

已知2x＋y=b，x－3y=1 求14y(x－3y)2－4(3y－x)3的值。

分析：先将14y(x－3y)2－4(3y－x)3进行因式分解，再将2x＋y=6和x－3y=1整体代入。

解：14y(x－3y)2－4(3y－x)3=14y(x－3y)2＋4(x－3y)3

=2(x－3y)2[7y＋2(x－3y)] =2(x－3y)2(2x＋y) 当2x＋y=6.x－3y=1时，原式=2×12×6=12，回答下列问题：(1)上述问题体现了

思想，这种思想在求值问题中经常用到。

3

(2)已知a＋b=5，ab=3，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值。(由学生完成)。

说明：本题目的是让学生通过阅读体会整体代换思想和因式分解在求值问题中的应用。

例5

已知，如图，4个圆的半径都为a，用代数式表示其中阴影部分的面积，并求当a=10，π取3.14时，阴影部分的面积。

解：

用代数式表示阴影部分的面积为：

(2a)2－πa2

即4a2－πa2

当a=10, π取3.14时，

4a2－πa2=a2(4－π)=102×(4－3.14)=100×0.86=86 (四)练习

1、辨析

分解因式

a4－8a2＋16 a4－8a2＋16=(a2－4)2=(a＋2)2(a－2)2=(a2＋2a＋4)(a2－2a＋4) 这种解法对吗？如果不对，指出错误原因。

说明：本题考查学生因式分解与整式乘法的意义，错因是混淆了二者的区别，走了“回头路”

2、选择题：

多项式①16x5－x

②(x－1)2－4(x－1)＋4

③(x＋1)4－4x(x＋1)2＋4x2 ④－4x2－1＋4x分解因式后，结果含有相同因式的是(

) A、①②

B、③④

C、①④

D、②③

3、填空：

请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式法来分解因式，你编的三项式是

，分解因式的结果是

。

本题设计说明：学生不仅要学会课本上的例题和习题，而且要懂得借助课本内容的思想方法去编拟习题，这是创新教育的一种表现形式。

4、把下列各式分解因式

(1)3ax2－3ay4

(2)－2xy－x2－y2

(3)3ax2＋6axy＋3ay2

(4)x4－81

(5)(x2－2y)2－(1－2y)2

(6)x4－2x2＋1

(7)x4－8x2y2＋16y4

分两组板演：(1)~(3)一组，(4)~(7)为另一组，也可以投影部分学生的解答过程进行点评。

五、小结

学生通过例题的学习及练习自己总结在综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时要注意的问题和解题步骤，可由1个或几个学生回答，互相补充，教师归纳(投影)

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(1)如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解。

(2)分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止。

(3)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式。

即：“一提”、“二套”、“三查”特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确。

六、作业：

必做：课本P95习题9.6 5、6 选做：

1、分解因式

(1)80a2(a＋b)－45b2(a＋b)

(2)(x2－2xy)＋2y2(x2－2xy)＋y4

(3)(x＋y)2－4(x2－y2)＋4(x－y)2

2、已知x＋y=4

xy=2

求2x3y＋4x2y2＋2xy3的值

3、利用图形面积因式分解

①a2＋3ab＋2b2

②a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ac 222

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