7.5 多边形的内角和与外角和优秀教案内容

9.2多边形的内角和

知识技能目标

1.理解多边形的概念和正多边形的概念；

2.了解多边形的内角、外角、对角线等概念.

过程性目标

1.联系三角形的概念，三角形的内角和外角的概念，经历探索多边形和多边形内角、外角的概念；

2.结合实践与应用，充分感受正多边形的意义，体会多边形与三角形之间的相互关系及转化.

重点、难点

1．重点：多边形的内角和定理.

2．难点：多边形的内角和定理的推导. 教学过程

一、创设情境

问题1：什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？四边形和五边形又是怎样表示呢？

二、探索归纳

1．多边形的概念

三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.如图（1），记作：△ABC．

DCDCECA(3)BA(1)BA(2)B

四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形. 如图（2），记作：四边形ABCD．

五边形是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形. 如图（3），记作：五边形ABCDE．

一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形.

注意

(1)我们现在只研究凸多边形，如图(2)

，(3)；

(2)图(4)也是多边形，但不是我们现在研究范围.

与三角形类似，如图(5)所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角

∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角，称为一对外角. CDA(4)(5)B

问题2: (1)五边形、六边形分别有多少个内角？多少个外角？

答:五边形有5个内角，10个（5对）外角；

六边形有6个内角，12个（6对）外角.

(2)n边形有多少个内角？多少个外角？

答:n边形有n个内角，2n个（n对）外角.

如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形. 如：正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等.

(6) (7) (8)

2．多边形的内角和公式.

连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.

C

D

E

D

F

C

E

D

C

A

(9) B

A

(10) B

A

(11) B

如图(9)线段AC是四边形ABCD的一条对角线；

如图(10)线段AC、AD是五边形ABCDE的对角线；

如图(11)线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线.

试一试：从图(9)、(10)、(11)可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，我们已知一个三角形的内角和等于180°，那么四边形的内角和等于多少度？五边形、六边形呢？由此，n边形的内角和等于多少呢？

列表分析：

结论

n边形的内角和为(n-2)·180°.

多边形的内角和等于(n-2)·180°，还可以用以下的划分来说明，即在n边形内任取一点P，连结点P与多边形的每个顶点，可得几个三角形?这几个三角形的各内角与这个多边的各内角之间有什么关系?请你试一试.

对有困难的学生教师可以加以引导.

如图每一个三角形都有一条边就是多边形的边，因此n边形就可划分成n个三角形，这n个三角形的内角和减去以

P为顶点的周角所得的差就是”边形的内角和.因此，n边形的内角和为：

n·180°-360°＝n·180°-2·180°=(n-2)·180°

问：还有其他方法吗?让学生自主探索，对不同方法给予鼓励. 三、实践应用

例1

求八边形的内角和的度数.

解：(n-2)·180°=（8-2）×180°=1080°. 练习

十边形的内角和是多少？若十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是多少度？

例2 (1)一个多边形的内角和等于2340°，求它的边数；

(2)一个正多边形的一个内角为150°，你知道它是几边形？

解：(1)设边数为n，则有

(n-2)·180°=2340°

n-2=13

n=15；

(2)设这个多边形为n边形，则有

(n-2)·180°=150°n

n=12 这是个十二边形. 练习

(1)一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是

边形；

(2)一个多边形的每一个内角都是120°，则这个多边形是

边形.

四、交流反思

1.多边形的内角、外角及对角线的概念和多边形的内角和定理, 2.通过把多边形划分若个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n-2)·180°. .这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握. 五、检测反馈

1.先任意画一个五边形，然后画出它所有的对角线，数一数，一共有多少条对角线？

2.如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数之比为2∶3∶4，那么这三个内角的度数分别是多少？

3.一个多边形的内角和等于1080°，求它的边数.

4.一个多边形的每一个外角都等于144°，求它的边数.