正方形教学评价实录

正方形的最值问题简案

江都区第三中学 孙超

基本图形解析：

一）、已知两个定点：

1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；

（1）点A、B在直线m两侧：

A

m

B

（2）点A、B在直线同侧：

A B

m

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：

A

m

n

B

（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

A

m

B

n

（3）两个点都在内侧：

mA

B

n

APB mABP mA'A

mPP'Q'QB

nA

mPBQB'

nA'APBQB'

m

n

1

（4）、台球两次碰壁模型

变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. n

An

A'BA

BD

mE

m

B'

变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. n

A'n

A

AQ

mPm

A"

1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；

（1）点A、B在直线m同侧：

A

A

B

B

mPP'm

解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。

（2）点A、B在直线m异侧：

A

B'A

mm

P'P

BB

其它非基本图形类线段和差最值问题

1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。

2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。

3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。

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例1. 如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ．

1.如图,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为 ( ) 例2.如图，∠MON=90º，矩形ABCD的顶点B、C分别在边OM、ON上，当B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动，若CD=5，BC=24，运动过程中，点D到点O的最大距离为

．

例3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是

．

2.如图，在 ，点P为BC上任意一点，RtABC中，BAC90,AB3,AC4连接PA，以PAPC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 .

例4.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是______．

3

例5. 如图，正方形ABCD与矩形EFGH在直线L的同侧，边AD、EH在直线L上，且AD=5 cm,EH=4 cm, EF=3 cm.保持正方形ABCD不动，将矩形EFGH沿直线L左右移动，连接BF、CG，则BF+CG的最小值为 cm. 小结与思考

作业

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