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二次函数的图像和性质教案

程委中学—赵耀玉

一、中考要求

1、理解二次函数和抛物线的有关概念。

2、会把二次函数的一般形式化成顶点式，确定图像的开口方向、对称轴、顶点坐标以及顶点坐标的意义。

3、二次函数系数与图像的关系。

4、抛物线的平移、旋转、轴对称。

5、二次函数与方程、不等式的关系。

二、知识要点

1、二次函数的顶点、对称轴、增减性

（1）y=ax2+bx+c （2）y=a（x-h）2+k 一般形式与顶点式单独分析，在此处对顶点坐标进行单独分析，并回忆顶点坐标的意义。

2、抛物线特征和a,b,c的关系

（1）

a决定开口方向及开口大小

①当a>0时开口向上，当a<0时开口向下。

②a越大，抛物线的开口越小。

（2）b与a共同决定抛物线对称轴的位置

①b=0时，对称轴为y轴。

②ba>0时，对称轴在y轴的左侧。（左同）

③ba<0时，对称轴在y轴的右侧。（右异）

（3）c的大小决定抛物线与y轴交点的位置

①c=0,抛物线经过原点。

②c>0，抛物线与y轴交于正半轴。

③c<0，抛物线与y轴交于负半轴。

3、

抛物线的平移、旋转、轴对称

（1）先将二次函数解析式化为顶点式y=a(x-h)2+k,确定a,h,k,求出变化后的解析式,如平移变换a不变，遵循“上加下减,左加右减”的原则，据此,可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式; （2）二次函数图象的平移可看作顶点间的平移,可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式;关于x轴对称后变为y=-a(x-h)2-k;关于y轴对称后变为y=a(x+h)2+k; （3）绕顶点旋转180°后变为y=-a(x-h)2+k;绕原点旋转180°后变为y=-a(x+h)2-k 4、二次函数与方程、不等式的关系

（一）二次函数与方程的关系

(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0);一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标

(2)图像与x轴交点个数

①b2-4ac>0方程有两个不相等的实数根,抛物线与x轴有2个交点

②b2-4ac=0方程有两个相等的实数根,抛物线与x轴有且只有1个交点

③b2-4ac<0方程没有实数根,抛物线与x轴无交点

（二）二次函数与不等式的关系

(1)不等式ax2+bx+c>0的解集对应抛物线位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围。

(2)不等式ax2+bx+c<0的解集对应抛物线位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围。

三、教学方法及课时

方法：讲练相结合

课时：3课时

四、教学过程

考点梳理

考点一

二次函数的顶点、对称轴、增减性

【例1】

（1）（2018·成都）关于二次函数y=2x2+4x-1，下列说法正确的是(

) A.图像与y轴的交点坐标为（0，1）

B.图像的对称轴在y轴的右侧

C.当x>-1时，y的值随x值的增大而减小

D.y的最小值为-3 设计意图：通过一道中考题，练习考点一。

（2）（2018·德州）如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax-a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是(

)

设计意图：对性质的灵活应用。

（3）（2017·泰安）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：

x y

-1 -3 0 1 1 3 3 1 下列结论：①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1;③当x<1时,函数值y随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4,其中正确的结论有(

)

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

设计意图：提升难度，激发学生的思考。

考点二

抛物线特征和a,b,c的关系

【例2】

（2018·枣庄）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称

轴是直线x=1,下列结论正确的是(

) A.

b2<4ac

B. ac>0 C. 2a−b=0

D.

a−b+c=0

设计意图：知识点梳理后进行相应练习。

考点三

抛物线的平移、旋转、轴对称

【例3】

（1）（2018·乌鲁木齐）把抛物线y=2x2-4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为_____. （2）（2018·哈尔滨）将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为(

) A.y=-5(x+1)2-1

B.y=-5(x-1)2-1 C.y=-5(x+1)2+3

D.y=-5(x-1)2+3 设计意图：知识点的相应练习。

（4）（2018·淄博）已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移a(a>0)个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则点C的坐标为

。

设计意图：提升联系。

考点四

二次函数与方程、不等式的关系

【例4】

（1）（2018·自贡）二次函数y=x2+2x−m的图象与x轴有且只有1个交点，则m的取值范围为

。

设计意图：简单练习。

（2）（2018·天津）已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(-1,0),(0,3),其对称轴在y轴右侧,有下列结论: ①抛物线经过点(1,0); ②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根; ③-3

五、课堂小结

学生梳理本节知识点。

六、作业布置

学生画出知识点树

七、教学反思

在第一轮复习时不要太高估学生们，要树立学生们学习的信心，多找一些简单的题目，但是同时还要满足部分优等生，要找一些比较合适的提升题。本节课在进行中比计划的要慢很多，学生知识点遗忘较为严重，而一些记得的知识点已经忘记了如何应用，所以在以后的复习中任务很重。