正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系第二课时教学实录

《正多边形和圆》教案

★新课标要求

一、知识与技能

了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．

二、过程与方法

学生在探索新知的过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发展学生的观察比较、分析概括及归纳的逻辑思维能力．

三、情感、态度与价值观

1．通过图形的画法和分析，体验数学活动中的探索性．

2．经历观察、发现、探究等数学活动，感受数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是相互联系、相互作用的．

★教学重点

探索正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算．

★教学难点

通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系．

★教学方法

发挥学生主观能动性，给学生交流思想的机会，鼓励学生大胆探索．

★教学过程

一、引入新课

请同学们口答下面两个问题．

1．什么叫正多边形？

2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？

老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

2．例如六角螺帽的平面图、足球由多个正五边形组成、正多边形形状的地砖等等．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．

二、进行新课

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、•D、E、F都在这个圆上．

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

我们以圆内接正六边形为例证明．

如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．

∵ABBCCDDEEFFA，

∴AB=BC=CD=DE=EF=FA. 又∵BCF4EF,CDA4EF，

∴∠A=∠B. 同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A. 又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上，

∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等的六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．

为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．

外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

例1 已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积．

分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM•中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．

解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．

因此，所求的正六边形的周长为6a. 在Rt△OAM中，OA=a，AM=360=60°，•△OBC611AB=a. 222利用勾股定理，可得边心距OM=a(a)=122123a. ∴所求正六边形的面积=6×1133×AB×OM=6××a×a=22223a2. 例2 圆内接正三角形的边心距与半径的比是 ．

解析：如图，正三角形的半径OB、边心距OD、边长的一半BD构成了一直角三角形，在这个三角形中∠OBD=30°，则OD=1OB．

2

例3

如果正多边形的一个外角等于36°，那么它的边数为（

）

A．9 B．10 C．11 D．12 解析：如果从内角的角度来解题，问题较复杂，而多边形的外角和是360°，正多边形的各外角都相等，所以可用外角和的性质解决这个问题，这样解题较简便：n=36010．

36画正多边形的一般方法：

只要把圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这是画正多边形和正多边形计算的理论依据，而且它提示了正多边形与圆的内在联系，从而可用圆的知识来研究正多边形的问题，又可以利用正多边形的有关计算解决圆的计算问题．

正多边形的画法关键是等分圆周，有两种等分圆的方法，即用量角器等分圆周，用尺规等分圆周．

360用量角器等分圆已经学过，一是依次作相等的圆心角平等分圆；二是先画出一个n的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对的弧的等弧．

例4 利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．

分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，•应该先求边长为3的正五边形的半径．

解：正五边形的中心角∠AOB=如图，∠AOF=36°，OA=360=72°，

51AB÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm）. 2

画法：（1）以O为圆心，OA=2.55cm为半径画圆；

（2）在⊙O上顺次截取边长为3cm的AB、BC、CD、DE、EA（将圆五等分）；

（3）分别连结AB、BC、CD、DE、EA．

则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图所示．

尺规方法画图，理论上是精确的，但又不是任意等分圆都能用这种方法，而且作图也存在着误差．

三、课堂练习

1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．

2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（

）

A．36°

B．60°

C．72°

D．108°

3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（

）

A．18°

B．36°

C．72°

D．144°

4．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．

四、课堂总结

本节课要掌握住正多边形的有关概念，能够进行正多边形中的有关计算，总结出正多边形计算中常用的辅助线：半径、弦心距、边的一半构成一个直角三角形然后解直角三角形．