正多边形的有关计算教学设计和教学实录

24.3 正多边形和圆

一、教学目标

（一）学习目标

1.了解正多边形的概念，会通过等分圆心角的方法等分圆周画出所需的正多边形．

2.会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形，能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形．

3.会进行有关圆与正多边形的计算．

（二）学习重点

正多边形和圆中正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．

（三）学习难点

理解正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．

（2）把一个圆分成几等份，连接各点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于360°．

边数（3）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

（4）正n边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴有n条，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是轴对称图形．

2.预习自测

（1）如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为______．

【知识点】多边形外角和．

【思路点拨】根据多边形的外角和为360°，且正多边形每个外角度数相等，正多边形的边数和角的个数相同，由此可以得到答案. 【解题过程】解：360°÷60°=6. 【答案】6. （2）若正多边形的边心距与边长的比为1∶2，则这个正多边形的边数为_____．

1

【知识点】边心距的概念．

【数学思想】数形结合

【思路点拨】根据正多边形的边心距与边长的比为1∶2，可以得到边心距与边的一半之比为1:1，利用数形结合的方法，根据上图可以得到等腰直角三角形，由此可以得到答案. 【解题过程】解：如图，∵AB1AB1，∴

CD2BC1∴ABC为等腰直角三角形，

∴ACB45

∴多边形的一条边所对的圆心角等于90°

∴边数=3604

90【答案】4. （3）已知正六边形的外接圆半径为3 cm，那么它的周长为（

）．

【知识点】中心角. 【数学思想】数形结合

【思路点拨】根据正六边形的中心角36060，且两条半径相等，从而得到等边三角形，因6此边长等于半径，由此可以得到答案. 【解题过程】解：如图，A∵AB=AC=3cm ∴ABC为等边三角形

∴BC=AB=3cm ∴周长=18cm 【答案】18cm. （4）正多边形的一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是_______. 【知识点】多边形内角与外角. 【思路点拨】根据多边形的中心角为内角和外角互补，即可得到答案.

2 36060

6360360，进而用含n的式子表示每一个外角为，利用nn

【解题过程】解：设正多边形为正n边形，则它的每个中心角是360

n360

n∵多边形的外角和是360°，∴每个外角是∵一个外角+一个内角=180°

∴一个中心角+一个内角=180°

故一个中心角和一个内角互补. 【答案】互补. （二）课堂设计

1.知识回顾

（1）正多边形的概念：各条边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. （2）正多边形的性质：各条边都相等；各个内角都相等. n2180n3的整数，n边形的外角和为360°（3）n边形的内角和为________________________. （4）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”.

2.问题探究

探究一

从旧知识过渡到新知识

●活动①回顾旧知

观察下列图形，从这些图形中找出相应的正多边形.

学生回答：

(1)正六边形；(2)正八边形；(3)等边三角形；（4）正五边形．

【设计意图】复习正多边形的概念，为今天的课程做准备．激发学生的学习兴趣．

●活动②整合旧知

正多边形与圆有什么关系呢？

学生根据教师提出的问题进行思考，回忆圆的有关知识，进而回答教师提出的问题．即等

3

分圆周，就可以得到圆内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．

【设计意图】培养学生的思维品质，将正多边形与圆联系起来．并由此引出今天的课题．

探究二

等分圆周，正多边形的有关概念（★▲）

●活动①为什么等分圆周就能得到正多边形呢？

教师提出问题后，学生认真思考、交流，充分发表自己的见解，并互相补充．教师在学生归纳的基础上进行补充，并以正五边形为例进行证明．

教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程：

如图，

BAEO∵ABBCCDDEEA

∴ABBCCDDEEA

CDBADCAE3AB

∴

CD

同理可证：ABCDE

∴

五边形ABCDE是正五边形．

∵A、B、C、D、E在⊙O上，

∴五边形ABCDE是圆内接正五边形．

【设计意图】使学生理解、体会圆与正多边形的内在联系. ●活动②如何三等分圆周呢？

教师提出问题后，学生思考、交流自己的见解，教师组织学生进行作图，方法不限．

以下为解决问题的参考方案：(上课时教师归纳学生的方法) (1)度量法：

①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°，如图1．

图1 ②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，如图2．

4

图2 (2)尺规作图：用圆规在⊙O上截取长度等于半径（2cm）的弦，连结AB、BC、CA即可，如图3．

图3 (3)计算与尺规作图结合法：由圆内接正三角形的半径与边长的关系可得，正三角形的边长为23cm，半径为2cm，用圆规在⊙O上截取长度为23cm的弦AB、AC，连结AB、BC、CA即可．

【设计意图】充分发展学生的发散思维．让学生充分利用手中的工具，实际操作，认真思考，从而培养学生的动手能力．

在师生共同作图的基础上，归纳出：正多边形与圆有着密切的联系．

（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆具有旋转不变性．

（2）正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，当n为偶数时，它也是中心对称图形，且绕中心旋转360，都能和原来的图形重合．

n给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念，同样说明正多边形与圆有着很多内在的联系．

●活动③在学生作图的基础上，教师归纳出等分圆周的方法：

1.用量角器等分圆：

依据：同圆中相等的圆心角所对应的弧相等．

操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边

5

长误差较大．

2.用尺规等分圆：

（1）作正四边形、正八边形．

教师组织学生，分析、作图．归纳：只要做出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

（2）作正六、三、十二边形．

教师组织学生，分析、作图．

归纳：先做出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形……理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画．

【设计意图】教给学生等分圆周的方法，尤其是尺规作正方形、正六边形．使学生体会随着正多边形边数的增多，正多边形越来越接近圆．

探究三

利用正多边形和圆解决实际问题.

●活动①

实际应用

参照下图，按照一定比例，画一个停车让行的交通标志的外缘．

停

教师提出问题后，学生认真思考，并在笔记本上试着作图，再与同学进行交流．教师要关注学生对问题的理解，对等分圆周方法的掌握程度．

学生作图如下：

【设计意图】应用等分圆周的方法作图．

●活动②

方案设计

6

例

某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉.为了美观，种植要求如下：

（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃（注意：面积相等必须由数学知识作保证）；

（2）花卉总面积等于广场面积；

（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边. 教师提出问题后，让学生认真思考后，设计出最美的图案，并用实物投影展示自己的作品．要求①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成．教师巡视，对画的好的学生给予表扬，对有问题的学生给予指导．

【设计意图】发展学生作图的能力，对学生进行美的教育，发展学生作图能力．

【解题过程】

探究四

正多边形和圆的应用

●活动①基础性例题

例1.己知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（

）

A．1

B. 3

C. 2

D. 23

【知识点】正六边形、正三角形的性质，勾股定理．

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：如下图，由正六边形的性质知，三角形AOB为等边三角形，

所以，OA＝OB＝AB＝2，AC＝1，由勾股定理，得内切圆半径：OC＝3

7

【思路点拨】构成以半径、边心距、边长为边的直角三角形是解题关键．

【答案】B 练习：如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD=

．

【知识点】正多边形的计算

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：设O是正五边形的中心，连接OD、OB．

2×360°=144°，

51∴∠BAD=∠DOB=72°，

2则∠DOB=故答案是：72°．

【思路点拨】设O是正五边形的中心，连接OD、OB，求得∠DOB的度数，然后利用圆周角定理即可求得∠BAD的度数．正确理解正多边形的内心和外心重合是关键．

【答案】72°．

例2.蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（

）

A. 4个

B. 6个

C.8个

D.10个

【知识点】正多边形和圆

8

【数学思想】数形结合，分类讨论

【解题过程】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，

即，有6个直角三角形，

AB是斜边时，点C共有2个位置，

即有2个直角三角形，

综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+2=8个．

故选C．

【思路点拨】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．

【答案】C 练习：正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是

．

【知识点】多边形内角与外角．

【解题过程】解：因为外角是20度，360÷20=18，则这个多边形是18边形．

【思路点拨】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．

【答案】18 【设计意图】熟记正多边形的有关概念，并会应用正多边形的有关概念解题．

●活动2提升型例题

例3.如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为__________．

【知识点】正多边形和圆．

9

【解题过程】解：连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=4，∠ABC=90°，

∴AC是直径，AC=42，

∴OE=OF=22，

∵OM⊥EF，

∴EM=MF，

∵△EFG是等边三角形，

∴∠GEF=60°，

在Rt△OME中，∵OE=22，∠OEM=∴OM=2，EM=3OM=6，

∴EF=26．

故答案为26．

1∠GEF=30°

2

【思路点拨】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先求出圆的半径，在RT△OEM中利用30度角的性质即可解决问题．

【答案】26．

练习：如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10=

．

【知识点】正多边形及其外接圆的性质，圆周角定理

10

【数学思想】数形结合

【解答过程】解：设该正十二边形的圆心为O，如图，连接A10O和A3O，

由题意知∠A3OA10=5360=150°，

12

∴∠A3A7A10=75°，

故答案为：75°．

【思路点拨】作出恰当的辅助线，灵活运用正多边形及其外接圆的性质及圆周角定理来分析是解答此题的关键．

【答案】75°．

例4. 如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为（1，1），（﹣1，1），把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分所形成的正八边形的边长为

．

【知识点】旋转的性质，坐标与图形性质，正方形的性质，正多边形和圆．

【解题过程】解：如图，由题意得：

正方形ABCD的边长为2，

∴该正方形的对角线长为22，

∴OA′=2；而OM=1，

∴A′M=2﹣1；

由题意得：∠MA′N=45°，∠A′MN=90°，

∴∠MNA′=45°，

11

∴MN=A′M=2-1；

由勾股定理得：A′N=2﹣2；

同理可求D′M′=2﹣2，

∴M’N=2﹣（4﹣22）=22﹣2，

∴正八边形的边长为22﹣2．

【思路点拨】如图，首先求出正方形的边长、对角线长；进而求出OA′的长；证明△A′MN为等腰直角三角形，求出A′N的长度；同理求出D′M′的长度，即可解决问题．

【答案】22﹣2．

练习：如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（

）

A．30°

B．35°

C．45°

D．

60°

【知识点】切线的性质；正多边形和圆．

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：连接OB，AD，BD，

∵多边形ABCDEF是正多边形，

∴AD为外接圆的直径，

360=60°，

611∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．

22∠AOB=∵直线PA与⊙O相切于点A，

∴∠PAB=∠ADB=30°，

12

故选A．

【思路点拨】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利用弦切角定理求∠PAB．

【答案】A 【设计意图】熟练应用正多边形和圆的知识解题．

●活动3探究型例题

例5.如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1. 点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0）. 设点M转过的路程为m（0

. 1323

【知识点】单点和线动旋转问题，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质.

【数学思想】数形结合

【解题过程】①当m=时，连接PM，如图1，

∠APM=360°=120°．

13

∵PA=PM，∴∠PAM=∠PMA=30°．

在Rt△AON中，NO=1×=．

②当m=时，连接PM，如图2，

∠APM=360°﹣×360°=120°，

同理可得：NO=．

+=．

综合①、②可得：点N相应移动的路经长为故答案为

．

【思路点拨】先求到点M转动的圆周角的度数，由对称性得到∠OAN的度数，从而求得点N相应移动的路径长．若动点的运动路径是一条线段，常常可通过考虑临界位置（动点的始点和终点）来解决．

【答案】23.

3

练习：有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1∶S2等于（

）

A．1∶2

B．1∶2

C．2∶3

D．4∶9 【知识点】正方形的性质，相似三角形的性质、正方形面积．

【解题过程】解：设大正方形的边长为x，根据图形可得：

∵∴EF1

AC3S1SDAC1

914

∴S1S正方形ABCD1

181S正方形ABCD

181∴S1x2

18∴S1∵S2SABC1

4∴S2S正方形ABCD1

81∴S2S正方形ABCD

81∴S2x2

811S1:S2x2:x24:9

188故选D．

【思路点拨】设小正方形的边长为x，再根据正方形的性质和三角形面积公式求出S1、S2的面积，即可得出答案．

【答案】D 例6.如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则A. 3

B. 4

C.5

D.6 S阴影=（

）

S空白

【知识点】正多边形和圆

【数学思想】数形结合

15

【解题过程】解：如图，

∵三角形的斜边长为a，

13∴两条直角边长为a，a，

221332∴S空白=a•a=a，

224∵AB=a，

∴OC=3a，

213332∴S正六边形=6×a•a=a，

222∴S阴影=S正六边形﹣S空白=532a=4=5，

32a433232532a﹣a=a，

244∴S阴影S空白故选C．

【思路点拨】正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算．先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可．

【答案】C 【设计意图】综合应用正多边形和圆等的知识解题，进一步提高解题能力．

练习：如图(1)、(2)、(3)、…、(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.

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(1)求图(1)中∠MON的度数；

(2)图(2)中∠MON的度数是_________，图(3)中∠MON的度数是_________；

(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案). 【知识点】正多边形与圆，圆心角

【数学思想】数形结合，特殊到一般

【解题过程】(1)方法一：连结OB、OC. ∵正△ABC内接于⊙O，

∴∠OBM=∠OCN＝30°，

∠BOC=120°. 又∵BM=CN，OB=OC，

∴△OBM≌△OCN. ∴∠BOM＝∠CON. ∴∠MON=∠BOC=120°. 方法二：连结OA、OB. ∵正△ABC内接于⊙O，

∴AB=AC，∠OAM=∠OBN=30°, ∠AOB=120°. 又∵BM＝CN，

∴AM=BN. 又∵OA=OB, ∴△AOM≌△BON. ∴∠AOM=∠BON. ∴∠MON=∠AOB=120°. (2)90°

，72°

(3)∠MON=360. n17

【设计意图】综合应用正多边形和圆等的知识解题，进一步提高解题能力．

3. 课堂总结

知识梳理

（1）正多边形：各边相等、各角相等，缺一不可；

（2）正多边形与圆的关系：圆圆内接正n边形；

分成nn3等分（3）正多边形的有关概念：中心、半径、中心角和边心距；

（4）与正多边形有关的计算公式：

①正n边形每个角为n2180n；

②正n边形每个中心角为360；

n

③正n边形每个外角为360；

n22a

④正n边形的边心距rRn2R是半径,an是边长；

⑤正n边形的周长lnanan是边长；

1

⑥正n边形的面积Slrl是正n边形的周长，r是正n边形的边心距；

2（5）正多边形的画法；

（6）正多边形的性质：边、角、对称性. 重难点归纳

（1）能够充分认识正多边形的有关概念，并计算有关长度、面积和角度；

（2）与正多边形有关的性质的应用. 4、作业

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