*8.4 三元一次方程组解法举例教学实录与评析

《8.4 三元一次方程组》

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设计思路

三元一次方程组是在学习了二元一次方程组的基础上，进一步应用“消元”的思想，通过“降次”解多元一次方程组，是对“消元”、“降次”的拓展应用，但也正是因为之前学习了二元一次方程组的解法及其思想，因此，本节课，可放手让学生自主探究，通过分析、借鉴二元一次方程组的解法和思想，探究、动手操作三元一次方程组的解法，同时也要学会用分析实际问题，将实际问题转化为数学问题，用数学知识来解答。

因此本节课首先安排一道纸币张数与数额的应用题，让学生自主分析，找到未知量及数量关系，建立方程组解决，从而得到一个三元一次方程组，继而探究如何解三元一次方程组，如此，不仅让学生自主探究，掌握了如何解三元一次方程组的方法，也经历了应用三元一次方程组解决实际问题的历程，培养学生自主探究的意识和能力。

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教材分析

本课学习是在学习了二元一次方程组的基础上学习三元一次方程组的概念和解法．通过解三元一次方程组进一步体会消元思想，同时为二次函数等知识的学习作准备． 

教学目标

【知识与技能目标】

理解三元一次方程组的含义．

【过程与方法目标】

会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．

【情感态度价值观目标】

掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．

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教学重难点

【教学重点】

使学生会解简单的三元一次方程组，进一步体会“消元”的基本思想．

【教学难点】

针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．

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课前准备

多媒体：PPT课件、电子白板

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教学过程

一、研究探讨

小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．

1．题目中有几个未知数，你如何去设？

2．根据题意你能找到等量关系吗？

3．根据等量关系你能列出方程组吗？

请大家分组讨论上述问题．

（教师对学生进行巡回指导）

学生成果展示：

1．设1元，2元，5元各x张，y张，z张．（共三个未知数）

2．三种纸币共12张；三种纸币共22元；1元纸币的数量是2元纸币的4倍．

xyz12, 3．上述三种条件都要满足，因此可得方程组x2y5z22,

x4y. 师：这个方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．

怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？

（学生小组交流，探索如何消元．）

可以把③分别代入①②，便消去了x，只包含y和z二元了：

x8,4yyz12,5yz12,即解得y2,

4y2y5z22,6y5z22.z2. 解此二元一次方程组得出y、z，进而代回原方程组可求x．

教师对学生的想法给予肯定并总结解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．

即三元一次方程组

二、例题讲解

消元

二元一次方程组

消元一元一次方程

3x4z7, 例1：解三元一次方程组2x3yz9,

5x9y7z8. （让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生板演后比较．）

解：②×3+③，得11x+10z=35．

①与④组成方程组3x4z7,x5,

解得11x10z35.z2.1．

3 把x=5，z=-2代入②，得y=x5,1 因此，三元一次方程组的解为y,

3z2. 归纳：此方程组的特点是①不含y，而②③中y的系数为整数倍关系，因此用加减法从②③中消去y后，再与①组成关于x和z的二元一次方程组的解法最合理．•反之用代入法运算较烦琐．

例2：在等式y=ax+bx+c中，当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60，求a，b，•c的值．

（师生一起分析，列出方程组后交由学生求解．）

2abc0, 解：由题意，得三元一次方程组4a2bc3,

25a5bc60. ②-①，得a+b=1， ④

③-①，得4a+b=10． ⑤

④与⑤组成二元一次方程组ab1,．

4ab10. 解得a3,

b2 把a=3，b=-2代入①，得c=-5．

a3, 因此b2,，

c5.

答：a=3，b=-2，c=-5．

三、

知能训练

1．解下列三元一次方程组：

x2y9,(1)yz3,2zx47;3xyz4,(2)2x3yz12,xyz6.

x22,x2,解:(1)y15.5,(2)y3,z1.三个数．

z12.5; 2．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大，乙数的11等于丙数的，求这32xyz35,x10,解得y15,

解：设甲、乙、丙三个数分别为x、y、z，则2xy5,yzz10.,32 即甲、乙、丙三数分别为10、15、10．

3.已知x与y满足y=ax+bx+c，当x=1时，y=-2，当x=-1时，y=20，当x=y的值相等，求a、b、c，

231时与x=的232abc, 解：由已知，得20abc,

93ababcc.2934 ②－①，得b=-11， ④

由③得777ab=0， ⑤

366 ④代入⑤，得a=6． ⑥

a6,a6, 把代入①，得c=3，因此，b11,

b11c3. 答：a=6，b=-11，c=3．

3x2yz6,axby2cz2, 4．已知方程组6xy2z2,与关于x,y,z的方程组2ax3by4cz1,相6x2y5z33ax3by5cz1同，求a，b，c的值．

x:y3:2, 5．解方程组y:z5:4,

xyz66.

四、课堂小结：

1．学会三元一次方程组的基本解法．

2．掌握代入法，加减法的灵活选择，体会“消元”思想．

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教学反思

略。