利用完全平方差公式进行因式分解教学设计(第二课时)

《运用完全平方公式分解因式》教学设计

一、内容和内容解析

1、内容

运用完全平方公式分解因式

2、内容解析

本节课因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，分解因式是在学习整式四则运算的基础上进行的，它不仅在多项式的除法、简便运算中有着直接的应用，也为以后学习分式的约分、通分、解一元二次方程及三角函数的恒等变形提供了必要的基础，因式分解是中学代数教材中的一个重要内容。因此学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。

进行因式分解时要灵活、综合运用过去学过的有关数学基础知识，并且分解的途径很多，技巧性强，逆向思维能力要求较高。所以因式分解是发展学生智力、培养能力、深化学生的逆向思维能力的良好载体。

在学习本节课之前，已经学过了因式分解的有关概念和方法，特别是学过了运用平方差公式分解因式与本节课有类似之处，为本节课打下了基础。

另外，本节课的学习是通过乘法公式（a ±b）2=a2

±2ab+b2的逆向变形展开的，并且正式提出了换元这一重要的数学思想，可以进一步发展学生观察、归纳、类比、探究、总结等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。

本节课的学习重点是灵活运用完全平方公式分解因式，特别是对完全平方式的判断，对学生的观察分析能力有较高的要求. 本节课的难点是整体、换元思想的掌握。换元与整体的思想是数学中的一个重要思想方法，要启发学生注意不断总结规律和积累解题经验。

二、目标和目标解析

１、目标

1、会用完全平方公式分解因式。

2、会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。

3、通过对完全平方公式的逆向变形及将一个整式看做“元”进行分解，发展学生的观察、类比、归纳、预见等能力，进一步体会换元思想，提高处理数学问题的技能。

2、目标解析

⑴

能记住完全平方公式；⑵

能辨认完全平方式；

⑶

能灵活运用完全平方公式进行因式分解。

提高学生的运算能力，培养学生的观察分析能力，渗透换元与整体的思想，培养科学的质疑精神与积极地将新旧知识进行关联的倾向,以及学习数学的兴趣。 三．教学问题诊断分析

由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心

地引导和启发。

注意事项,当完全平方公式中的a与b 表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导。

四．教学支持条件分析

根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，利用多媒体课件。

通过问题引导，学生活动——说一说、记一记、试一试、练一练、做一做、测一测、拓展提高、最强大脑、理一理，激发学生的学习兴趣，巩固知识。

五．教学过程分析

(一)复习引入（忆一忆）

引导学生回顾因式分解的概念与方法,并由平方差公式联系到完全平方公式由其逆过程引出课题。

因式分解:

把一个多项式转化为几个整式的积的形式。

问题一：什么叫因式分解

问题二：我们已经学了哪些因式分解的方法？

因式分解的方法：(多媒体展示) 1、提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) 2、公式法——把整式乘法公式反过来，对某些多项式分解因式。

(a+b)(a-b)=a2-b2 反过来，可得a2-b2 =(a+b)(a-b)

提问：除了平方差公式，还学过哪些乘法公式？

(a±b)2=a2±2ab+b2

反过来，可得a2±2ab+b2=(a±b)2

【设计意图】

温故知新，感受到整式乘法与因式分解互为逆运算。启发学生得出肯定的回答，引出课题。

（二）探究新知（说一说）

新课讲解：(多媒体展示)a2±2ab+b2,两数的平方和，加上（或减去）这两数的积的两倍，形如a2±2ab+b2的多项式称为完全平方式.

(要强调注意符号) 实质为：两数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，给出完全平方式的概念。

完全平方式的特征：(1) 1.必须是三项式（或可以看成三项的)；（2）有两个同号的数(或式)的平方；（3）中间有两底数之积的±2倍。

简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。

【设计意图】总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如a2±2ab+b2的多项式称为完全平方式。

落实基础（试一试）

判别下列各式是不是完全平方式：

（1）a2－4a+4 （2）1+4a² （3）4b2+4b-1（4）a2+ab+b2 【设计意图】加深学生对完全平方式特征的理解，为后面的分解因式做能力铺垫。

范例学习

对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，做一做

例1分解因式：

（1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y2

解: (1)原式= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2

= (4x + 3)2

(2)原式=-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2

练一练：

分解因式：（1）

m2-8mn+16n2 （2）

-2xy-x2-y2

=(m-4n)2 = - (x+y)2

【设计意图】培养学生对完全平方公式的应用能力，注意添括号（提取负号）后的符号变化。通过练一练及时巩固，加深对完全平方公式的理解应用。

例2分解因式：

(1) 3ax2+6axy+3ay2 (2) (a+b)2-12(a+b)+36 解: （1）原式=3a(x2+2xy+y2 ) =3a(x+y)2

（2）原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2 （将a+b看成一个整体）

练一练：

(1) -3x2+6xy-3y2 解: 原式 = -3(x-y)2

(2) (m+n)2-4m (m+n)+4m2

解: 原式= (m+n)2-2 · (m+n) · 2m +(2m)2

= (m+n-2m)2

= (n-m)2

【设计意图】

让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式。对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，使学生清楚地了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用公式分解因式，一定要将因式分解彻底，通过练一练及时巩固。

做一做

分解因式：3m4-6m2n2+3n4

解：原式=3 (m4-2m2n2+n4) （一提）

=3 (m2-n2)2

=3 [(m+n)(m-n)]2 （二套）

=3 (m+n)2(m-n)2 （三查）

注意：有公因式，先提公因式，因式分解要彻底。

【设计意图】在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下三步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解；（3）因式分解要彻底。

测一测

1.下列四个多项式中，能因式分解的是( B ) A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y

2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( B ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2

C．x(4xy－4y 2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2) 3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是__1__．

4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为_±4 5.把下列多项式因式分解.

（1）x2-12x+36 （2） (2a+b)2-2(2a+b)+1 解：(1)原式 =x2-2·x·6+(6)2

=(x-6)2

(2)原式= (2a+b)² - 2·(2a+b)·1+1²

=(2a+b

-1)2 【设计意图】通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．

6.算一算：20142-2014×4026+20132

解：原式

＝ 20142-2×2014×2013+20132

＝(2014-2013)2

＝1 因式分解虽然不是一种运算，但是是一种重要的变形手段，能极大的降低运算的繁杂程度，通过因式分解可以解决数、式、方程等问题。

【设计意图】算一算考察学生灵活应用能力，需要学生有一定的

数感将4026拆成2×2013的形式，从而利用完全平方公式进行简便运算。因式分解虽然不是一种运算，但是是一种重要的变形手段，能极大的降低运算的繁杂程度，通过因式分解可以解决数、式、方程等问题。

拓展提高 分解因式：y2+2y+1-x2

解：原式=(y2+2y+1) -x² =(y+1)² -x²

=(y+1+x)(y+1-x) 【设计意图】

多项式为三项以上时，先分组,旨在考察学生的分类讨论思想。题3难道较大，对学有余力的孩子可以适当引导学习。

注意事项：这3道习题的设置均有一定的难度，无需要求所有学生都能掌握，按学生自身能力分层学习即可。 最强大脑

1、直接运用完全平方公式分解因式

2、先提供因式，再运用公式分解因式

3、分解因式体现“整体思想”

4、运用完全平方公式进行数字计算

【设计意图】

对所学知识灵活运用，提高学生学习兴趣。

自主小结

公式

a±2ab+b=(a±b)

222

完全平方

公式分解

因式

特点

1.必须是三项式（或可以看成三项的）；

2.有两个同号的平方项；

3.中间有两底数之积的±2倍.

【设计意图】通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．

课后分层作业：

1、必做题：教材习题第1,2题

2、选做题：

已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．

3、已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求：x2y2＋2xy＋1 的值．

【设计意图】针对学生的实际，充分了解学生个体差异，对不同层次的学生提出不同的作业要求，要求完成必做题，尝试挑战选做题。消除学生的消极心理，既给学有余力的学生探究的机会，又保护学生的学习积极性。