直角三角形的性质与判定教案和课堂实录

1.2.1直角三角形的性质与判定

一、学生起点分析

勾股定理及其逆定理在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索,所以学生对这些结论已经有所了解,对于它们,教科书努力将证明的思路展现出来．例如以前我们曾用割补法验证过勾股定理,而此处对勾股定理的证明应以我们认定的几条公理和由此推出的定理为依据进行,虽然证明的方法有多种,但对现阶段的学生来说,这些都有难度,因此教科书将其两种证明方法放在“读一读”中,供有兴趣的学生阅读,不要求所有学生掌握,其逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的．

二、教学目标

1.掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法,并能应用定理解决与直角三角形有关的问题. 2.结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立．

3.进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维．

4.进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理的能力．

三、教学重点、难点

1.重点

①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．

②结合具体例子了解逆命题的概念,识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立．

2.难点

勾股定理及其逆定理的证明方法．

四、教法教学

1.学法：自主学习、合作学习

2.教法：讲授、引导、视频

五、教学流程

第一环节：创设情境,引入新课

前几节课我们主要探索了等腰三角形及等边三角形的性质及其判定定理,而直角三角形是一种特殊的三角形,我们曾经用各种方法探索过直角三角形的一系列问题及其判定方法,那么这节课我们再通过推理、论证来证明曾经所探索到的直角三角形的一系列的性质与判定方法. 第二环节：自主学习

请同学们观察右边图形：

问题1：直角三角形有哪些性质？

问题2：如何判定一个三角形是直角三角形？

直角三角形的性质定理：

直角三角形两锐角互余. 直角三角形的判定定理：

有两个角互余的三角形是直角三角形. 第三环节：合作学习 曾经我们用过测量和数格子等方法发现勾股定理,那么如何利用推理、论证的方法证明勾股定理呢？

问题3：如何证明勾股定理？

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

已知：如图,在△ABC中,∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c．

求证：a+b＝c．

1 222

[证法1]（赵爽证法）

以a、b为直角边（b>a）,以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab.把这四个直角三角形拼成如下图所示的形状：

RtADHRtABEHDAEABHDAHAD90EABHAD90ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2EFFGGHHEba，HEF=902EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于（b-a）12

12ab（b-a）c222ab2c24[证法2]（美国第20任总统茄菲尔德的证法）

这个直角梯形是由2个直角边分别为、,斜边为

的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的.因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积. 11(ab)(ab)(a22abb2)22111又s梯形ABCDsAEDsEBCsCEDabbcc2

222整理得：c2a2b2s梯形ABCD[证法3]（欧几里得的证明方法）

2

反过来,如果在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗? 问题4：如何证明勾股定理的逆定理？

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

已知：如图：在△ABC中,AB+AC＝BC

求证：△ABC是直角三角形．

分析：要从边的关系,推出∠A＝90°是不容易的,如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等,而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等,可证．

证明：如图所示,作∠MFN=90°,在射线FM、FN上分别取点D、E, 使FD=CA=b,FE=CB=a. 在RtΔFDE中

DE2FD2FE2a2b2c2，

222∴DE=AB=c ∴ΔDFE≅ΔACB（SSS）

∴∠DFE=∠C=90°（全等三角形对应角相等）

∴ΔABC是直角三角形

总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．

互逆命题和互逆定理．

请同学们写出下列命题的条件与结论

直角三角形两锐角互余. 条件:如果一个三角形是直角三角形;结论:那么这个三角形两锐角互余. 有两个角互余的三角形是直角三角形. 条件:如果一个三角形中两锐角互余;结论:那么这个三角形是直角三角形. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 条件:如果一个三角形是直角三角形;结论:那么这个三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 条件:如果三角形的两边平方和等于第三边的平方;结论:那么这个三角形是直角三角形. 问题5：观察上面两组命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系? 条件和结论相反. 结论：在两个命题中,如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题,相对于逆命题来说,另一个就为原命题．

再来看以下三个命题,请同学们写出下列各命题的逆命题,并判断其逆命题是真命题还是假命题. 如果两个角是对顶角,那么它们相等. 如果两个角相等,那么它们是对顶角. 假命题. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.真命题. 有一个角是60的三角形是等边三角形. 等边三角形有一个角是60.真命题.

问题6：想一想,一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题？

可能是真命题也可能是假命题.

3 .

.

结论：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理．这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 第三环节：练习巩固、当堂检测

（见）1.2.1直角三角形的性质与判定课内练习及检测题

第四环节：课堂小结

今天我们学习了哪些知识？用什么方法解决？还用到了哪些数学思想？ 第五环节：布置作业

（见）学科管理作业分层布置薄

六、教学设计反思

学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不是太准,部分学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺,作为教师要关注到学生的个体差异,对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导.使每一个学生都能经历证明的过程,为他们提供充分地寻找证明思路的时间、空间和方法,体会证明的必要性．另外学生对于命题成立的证明方法,锻炼他们的演绎推理能力离目标还是有一定的差距.所以作为教师一定不能急躁,要本着以学生为本的目的,注意学生个体差异,对学习证明有困难的学生给予帮助和指导.

4