利用完全平方差公式进行因式分解教学设计案例

《4.3.2公式法》教学设计

第2课时

教学目标

（一）教学知识点

1．使学生会用完全平方公式分解因式．

2．使学生学习多步骤，多方法的分解因式．

（二）能力训练要求

在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力．

（三）情感与价值观要求

通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．

教学重难点

教学重点：让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法．

教学难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式．

教学过程

（一）．创设问题情境，引入新课

［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法．现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？

在前面我们不仅学***方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2

而且还学***方公式（a±b）2=a2±2ab+b2

本节课，我们就要学***方公式分解因式．

（二）．新课讲解

1．推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点．

［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？

［生］可以．

将完全平方公式倒写：

a2+2ab+b2=（a+b）2；

a2－2ab+b2=（a－b）2．

便得到用完全平方公式分解因式的公式．

［师］很好．那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点．

［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍．凡具备这些特点的三项

式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解．

［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；

（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；

（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍．

右边的特点：这两数或两式和（差）的平方．

用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．

形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式．

由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．

练一练：

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a+4；

（2）x2+4x+4y2；

（3）4a2+2ab+12b；

4（4）a2－ab+b2；

（5）x2－6x－9；

（6）a2+a+0.25 ［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍．

［生］（1）是；

（2）不是，因为4x不是x与2y乘积的2倍；

（3）是；

（4）不是，ab不是a与b乘积的2倍．

（5）不是，x2与－9的符号不统一．

（6）是．

2．例题评析

［例1］把下列完全平方式分解因式：

（1）x2+14x+49；

（2）（m+n）2－6（m+n）+9．

［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式．公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．

解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2

（2）（m+n）2－6（m +n）+9=（m+n）2－2（m+n）×3+32=［（m+n）－3］2=（m+n－3）2．

［例2］把下列各式分解因式：

（1）3ax2+6axy+3ay2；

（2）－x2－4y2+4xy．

［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式．

如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式．

解：（1）3ax2+6axy+3ay2

=3a（x2+2xy+y2）

=3a（x+y）2

（2）－x2－4y2+4xy

=－（x2－4xy+4y2）

=－［x2－2·x·2y+（2y）2］

=－（x－2y）2

（三）.课堂练习

把下列各式分解因式：

（1）4a2－4ab+b2；

（2）a2b2+8abc+16c2；

mn2m2（3）（x+y）+6（x+y）+9；

（4）－+n；

6144212y24（5）4（2a+b）－12（2a+b）+9；

（6）xy－x－

51002（四）课时小结

这节课我们学***方公式分解因式，它与平方差公式不同之处是：

（1）要求多项式有三项．

（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负．

同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式．

（五）作业设置

教材第103页

习题4.5 第1，2,

3,

4题