三角形中的垂直平分线教案和学案内容

第一章

三角形的证明

3、线段的垂直平分线(一) 一、学生知识状况分析

学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。

二、教学任务分析

教学目标：

1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理。

2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。

3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

教学重点、难点

重点：运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。

难点：是垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。

三、教学过程分析

第一环节：创设情境，引入新课

我们曾经利用折纸的方法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。你能证明这一结论吗？如果能证明，并与同伴交流。

第二环节：性质探索与证明

教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。

通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。

已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．

求证：PA=PB．

分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．

证明：∵MN⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=90°

∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS)．

；

∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．

MPACNB

因此，我们就证明这一结论的正确，得到了线段的垂直平分线的性质定理。

定理

线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等

第三环节：逆向思考，探索判定

你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?如果是，请你加以证明。

原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．

此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”

引导学生分析证明过程，有如下四种证法：

证法一：

已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．

求证：P点在AB的垂直平分线上．

证明：过点P作已知线段AB的垂线PC, PA=PB，PC=PC，

∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．

∴AC=BC，

即P点在AB的垂直平分线上．

证法二：取AB的中点C，过PC作直线．

∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，

∴△APC≌△BPC(SSS)．

∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．

又∵∠PCA+∠PCB=180°，

∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上．

证法三：过P点作∠APB的角平分线．

∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，

△APC≌△BPC(SAS)．

∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．

PAPPACB12CB又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°

∴P点在线段AB的垂直平分线上．

A12CB从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，

我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．

定理

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

第四环节：巩固应用

例题：

已知：如图

1-18，在

△ABC 中，AB = AC，O 是

△ABC 内一点，且

OB = OC. 求证：直线

AO 垂直平分线段BC。．

证明：∵

AB = AC，

∴

点

A 在线段

BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点

O 在线段

BC 的垂直平分线上. ∴

直线

AO 是线段

BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）. 第五环节：课堂小结

通过这节课的学习，你学到了什么内容？你有哪些收获？