测试优质课教案

第16课时

二次函数及其图象

【考点梳理】

1.二次函数解析式的几种表现形式

（1）一般式：

（2）顶点式：

（3）交点式：

，其中x1,x2是抛物线与x轴的两个交点(x1,0),(x2,0)的横坐标，或是二次函数的解析式

对应的一元二次方程

的两个根. 2.二次函数的y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线；a>0时，抛物线开口向上，a<0时，抛物线开口向下. b24acb23.二次函数y=ax+bx+c(a≠0)配方原形式是y=a(x+)+,则抛物线对称轴方程是x=2a4a24acbbbb4acb2;顶点坐标为(,时，ymin=;若)；若a>0，y有最小值，当x=2a2a2a4a4ab4acb2a<0，y有最小值，当x=时，ymax=.

2a4a24.若a>0，当x>当x>bb时，y随x的增大而增大；当x<时,y随x的增大而减小；若a<0，2a2abb时,y随x的增大而减小，当x<时，y随x的增大而增大. 2a2a5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的个数可由b2－4ac的取值来判断.当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2－4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点，当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

6. 二次函数ya(xh)k的图像和yax图像的关系.

7. 二次函数yaxbxc中a,b,c的符号的确定. 【典型例题】

【例1】求满足下列条件的抛物线的解析式

①（1,2）

（-1,6）

（3,6）

②（-1,0）

（3,0）

（4,6）

③顶点（1，-2），且过点（2，-3）

④对称轴为x=-1，且过点（0,3），（1

【例2】

已知二次函数y=x2－6x+8，求：

（1）抛物线与x轴y轴相交的交点坐标；

（2）抛物线的顶点坐标；

（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：

①方程x2

－6x＋8=0的解是什么？

②x取什么值时，函数值大于0？

③x取什么值时，函数值小于0？

222

④x取什么值时，函数值等于3？

⑤x取什么值时，函数值大于3 【例3】. 已知抛物线y＝x2－2x－8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．

【例4】已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．

（1）求k的取值范围；

（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．

①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．

1（孝感2009）．对于每个非零自然数n，抛物线yx22n11x与xnn1nn1轴交于An、Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1A2B2…A2009B2009的值是（

）

A．2009

2008B．20082010

C．

20092009D．2009

2010

2.（孝感2011）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有【

】

A．3个

B．2个

C．1个

D．0个

3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示．下列说法正确的是

▲

(填正确结论的序号)．

①abc＜0；②a－b＋c＜0；③3a＋c＜0；④当－1＜x＜3时，y＞0．

4. 对于二次函数yx22mx3，有下列说法：

①它的图象与x轴有两个公共点；

②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m1；

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m1；

④如果当x4时的函数值与x2008时的函数值相等，则当x2012时的函数值为3．其中正确的说法是

▲

．（把你认为正确说法的序号都填上）

【典型例题】

【例1】(孝感201012分)如图，已知二次函数的图象顶点坐标为(2，0)，直线y＝x＋1与二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上．

y (1)二次函数的解析式为y＝

．

(2)证明点(―m，2m―1)不在(1)中所求的二次函数的图象上．

C B A O D E 2 x

(3)C为线段AB的中点，过点C作CE⊥x轴于点E，CE与二次函数的图象交于点D．

①y轴上存在点K，使以K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则点K的坐标是

；

②二次函数的图象上是否存在点P，使得S△POE＝2S△ABD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【例2】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；

（3）若P为抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q 当点P的坐标为

_________

时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为

_________

时，四边形PQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）