直角三角形的性质与判定ppt课件配套教案内容

2

直角三角形

1.理解并能说出勾股定理及其逆定理、判定直角三角形全等的“HL”定理.

2.了解勾股定理及其逆定理的证明方法,理解并掌握判定直角三角形全等的“HL”定理的证明过程,进一步理解证明的必要性.

3.结合具体例子了解互逆命题的意义,会识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立.

4.能够应用勾股定理及其逆定理、“HL”定理证明或者解决相关问题.

在经历探究勾股定理及其逆定理、判定直角三角形全等的“HL”定理的证明过程中,培养学生的数学语言表达能力.

在数学活动中,体会获得成功的喜悦,建立学习的自信心.积极参与数学实践活动,对数学结论的获得产生好奇心和求知欲.

【重点】

1.运用勾股定理、勾股定理的逆定理、判定直角三角形全等的“HL”定理证明或者解决有关的问题.

2.结合具体例子了解逆命题的概念,识别两个互逆命题,明确原命题成立,其逆命题不一定成立.

【难点】

1.对勾股定理及其逆定理的证明方法的理解.

2.对“如果……那么……”形式的逆命题的叙述.

第课时

1.掌握勾股定理及其逆定理,并能应用定理解决与直角三角形有关的问题.

2.结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,明确原命题成立,其逆命题不一定成立.

让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.

进一步掌握推理证明的方法,提高演绎推理能力和思维能力.

【重点】

1.了解勾股定理及其逆定理的证明方法.

2.结合具体例子了解逆命题的概念,识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立.

【难点】

勾股定理及其逆定理的证明方法.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

复习直角三角形的有关性质.

导入一:

【问题】

如图所示的是一个直角三角形房梁,其中BC⊥AC,

∠BAC=30°,AB=10 cm,CB1⊥AB,B1C1⊥AC1,垂足分别是B1,C1,那么BC的长是多少?

B1C1的长呢?

解:在Rt△ABC中,∠CAB=30°,AB=10 cm,

∴BC=AB=×10=5(cm).

∵CB1⊥AB,∴∠B+∠BCB1=90°.

∵∠A+∠B=90°,

∴∠BCB1 =∠A=30°.

在Rt△BCB1中,

BB1=

BC=

×5= 2.5(cm).

∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(cm).

∵在Rt△C1AB1中,∠A=30°,

∴B1C1 =AB1=× 7.5=3.75(cm).

通过这道例题我们复习了直角三角形的有关结论.我们记得教材中曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.如果利用基本事实和已有定理,那么我们能够证明勾股定理吗?

[设计意图]

通过复习特殊直角三角形的相关性质过渡到“一般的直角三角形具有什么样的性质”,从而引入勾股定理及其证明.

导入二:

1.让学生在练习本上画出他们观察到的生活中的直角三角形,并分别说出它们的作用.

2.高度评价学生的参与热情和学习成果,激励学生继续努力.可以把其中很有创意的发现以该学生的名字命名,以此激发学生学习的积极性.

3.总结学生的“成果”,启发学生寻找直角三角形的共性.

[设计意图]

通过学生的动手操作活动,激发学生的学习兴趣,并自然地引入课题.

一、勾股定理及其逆定理

思路一

[过渡语]

请同学们打开教材第16页,阅读“读一读”,了解一下利用基本事实和已有定理证明勾股定理的方法.

1.勾股定理

已知:如图所示,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

222求证a+b=c.

证明:延长CB至D,使BD=b,作∠EBD=∠BAC,并取BE=c,连接ED,AE(如图),则△ABC≌△BED.

∴∠BDE=90°,ED=a(全等三角形的对应角相等,对应边相等).

∴四边形ACDE是直角梯形.

∴S梯形ACDE=(a+b)(a+b)=

(a+b).

2

∴∠ABE=180°-(∠ABC+∠EBD)=180°-90°=90°.

∵AB=BE.

∴S△ABE=c.

∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED,

∴(a+b)

=c +ab +ab, 22

2

即a + ab+b=c+ab,

222

∴a+b=c.

教师用多媒体课件演示勾股定理的条件和结论,并强调:

勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

2.勾股定理的逆定理

反过来,如果在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能证明此结论吗?

师生共同来完成.

222已知:如图所示,在△ABC中,AB+AC=BC.

求证△ABC是直角三角形.

〔解析〕

要从边的关系,推出∠A=90°是不容易的,如果借助△ABC与一个直角三角形全等,而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等,问题就可证.

222

222证明:如图所示,作Rt△A'B'C',使∠A'=90°,A'B'=AB,A'C'=AC,则A'B'+A'C'=B'C'(勾股定理).

222∵AB+AC=BC,

22∴BC=B'C',

∴BC=B'C',

∴△ABC≌△A'B'C'(SSS),

∴∠A=∠A'=90°(全等三角形的对应角相等).

因此,△ABC是直角三角形.

定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.

[设计意图]

在教师的引导下,先写出证明过程后,再逆向回顾证明过程,并强化理解勾股定理的逆定理.

思路二

[过渡语]

同学们,我们刚刚研究了直角三角形的性质和勾股定理,下面我们来研究如何证明勾股定理.

1.启发学生回忆以前用数方格和割补图形的方法得到的关于直角三角形三边关系的结论,让学生画出一个直角三角形并测量三边长,验证结论的正确性.

已知:在△AEH中,∠A=90°,AE=a,AH=b,HE=c.

222求证a+b=c.

证明:以a,b

为直角边,以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积都等于ab.

把这四个直角三角形拼成如图所示的形状,使A,E,B三点在一条直线上,B,F,C三点在一条直线上,C,G,D三点在一条直线上.

∵ Rt△HAE

≌Rt△EBF, ∴∠AHE=∠BEF.

∵∠AEH+∠AHE=90°,

∴∠AEH+∠BEF=90°.

∴∠HEF=180°-90°=90°.

2∴

四边形EFGH是一个边长为c的正方形,且它的面积等于c. ∵Rt△GDH≌Rt△HAE,

∴∠HGD=∠EHA.

∵∠HGD+∠GHD=90°,

∴∠EHA+∠GHD=90°.

又∵∠GHE=90°,

∴∠DHA=90°+90°=180°.

∴D,H,A三点在一条直线上.

2∴四边形ABCD是一个边长为(a+b)的正方形,它的面积等于(a+b).

∴(a+b)=4×ab+c.

∴a+b=c.

2.讲解与勾股定理有关的数学史,让学生发现勾股定理的逆定理.

利用学生画的直角三角形提出问题:你如何证明你画的就是直角三角形呢?

引导学生思考勾股定理的反面:在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,这个三角形是不是直角三角形?

2222

2

已知:如图所示.在△ABC中,AB+AC=BC.

求证△ABC是直角三角形.

〔解析〕

要从边的关系,推出∠A=90°是不容易的,如果借助△ABC与一个直角三角形全等,而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等,问题可证.

222

222证明:如图所示,作Rt△A'B'C',使∠A'=90°,A'B'=AB,A'C'=AC,则A'B'+A'C'=B'C'(勾股定理).

222∵AB+AC=BC,

22∴BC=B'C',

∴BC=B'C'.

∴△ABC≌△A'B'C'(SSS),

∴∠A=∠A'=90°(全等三角形的对应角相等).

因此,△ABC是直角三角形.

定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.

[设计意图]

借此机会向学生说明判断一个命题的真假时,一定要通过严格的逻辑证明来说明,不能凭直观猜测,在证明的过程中要做到步步有据,说理充分,培养学生的理性思维.

二、互逆命题

[过渡语]

观察勾股定理及其逆定理这两个命题,它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗?

通过观察,学生会发现:

上面两个定理的条件和结论互换了位置,即第一个定理的条件是第二个定理的结论,第一个定理的结论是第二个定理的条件.

这样的情况,在前面也遇到过.例如“两直线平行,内错角相等”,交换条件和结论就得到“内错角相等,两直线平行”.又如“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”.交换此定理的条件和结论就得到“在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°”.

观察下面三组命题:学生以分组讨论的形式进行,最后在教师的引导下得出命题与其逆命题的区别与联系:

上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流.

不难发现,每组第二个命题的条件是第一个命题的结论,第二个命题的结论是第一个命题的条件.

由此,我们得到逆命题的定义:

在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

上面的三组命题,它们就称为互逆命题,如果称每组的第一个命题为原命题,另一个则为逆命题.请同学们判断每组原命题及其逆命题的真假.

在第一组中,原命题是真命题,而逆命题是假命题.

在第二组中,原命题是真命题,而逆命题是假命题.

在第三组中,原命题和逆命题都是真命题.

请学生写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题?它们都是真命题吗?

从而引导学生思考:如果原命题是真命题,那么逆命题一定是真命题吗?

并通过具体的实例说明.

[教师点评]

一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题,如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

如果有些命题,原命题是真命题,逆命题也是真命题,那么我们称它们为互逆定理.

其中逆命题称为原命题(即原定理)的逆定理. 能举例说出我们已学过的互逆定理吗?

如“两直线平行,内错角相等”与“内错角相等,两直线平行”;“全等三角形的对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”;“等边对等角”和“等角对等边”等.

这节课,我们学习了勾股定理及其逆定理的证明方法,并结合具本实例了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,明确原命题成立,其逆命题不一定成立.

1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,若b=5,c=13,则a=

;若a=8,b=6,则c=

.

答案:12

10

2.如图所示,在等边三角形ABC中,AD为它的高线,若它的边长为2,则它的周长为

,AD=

,BD∶AD∶AB=

∶

∶

.

答案:6

1

2 3.已知正方形ABCD,AC为它的一条对角线,若AB=2,则AC=

;若AC=2,则AB=

,AC∶AB=

∶

.

答案:2

1

4.如图所示,在△ABC中,∠A+∠C=2∠B,则∠B=

;若∠A=30°,AB=6,则BC=

.

解析:根据三角形内角和定理,得∠B=60°,由直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半,得BC=

AB=3.

答案:60°

3

5.(2015·潜江中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上,将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=26°,则∠CDE=

.

解析:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=26°,∴∠B=64°.将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处,∠ACB=90°,∴∠BCD=∠ECD=45°,∠CED=∠B=64°,∴∠CDE=180°-∠ECD-∠CED=71°,故填71°.

6.在长方形纸片ABCD中,AD=4 cm,AB=10 cm,按如图所示的方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,求DE的长.

解:设DE=x,则DE=BE=x cm,AE=(10-x)cm.∠DAE=90°,

222在Rt△ADE中,DE=AD+AE,

222所以

x=4+(10-x),

解得x=5.8,所以DE=5.8 cm.

7.AB是一段长12 m的墙,用18 m长的网围成一个如图所示的鸡舍,求鸡舍的面积.

解:设BC=x m,则AC=18-x.

222在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=AB+BC,

222所以

(18-x)=12+x,解得x=5,

所以BC=5 m,

所以S△ABC=BC×AB=×5×12=30(m).

2

第1课时

一、勾股定理及其逆定理

二、互逆命题

一、教材作业

【必做题】

教材第16页随堂练习的1,2,3题.

【选做题】

教材第17页习题1.5的1,2,3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.(2015·淮安中考)下列四组线段中,能组成直角三角形的是

(

)

A.a=1,b=2,c=3 B.a=2,b=3,c=4 C.a=2,b=4,c=5 D.a=3,b=4,c=5 2.如图所示的是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是

(

)

A.13 B.26 C.47 D.94

3.(2015·北京中考)如图所示,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点间的距离为

(

)

A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km

4.一个等腰三角形的腰长为17,底边长为16,则该等腰三角形的面积为

(

)

A.112 B.120 C.128 D.136 5.如图所示,将长方形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C'处,BC'交AD于E,AD=16,AB=8,则DE的长为

(

)

A.12 B.10 C.8 D.6

【能力提升】

6.如图所示,以Rt△ABC的三条边为边长分别向外作正方形,其面积分别为S1,S2,S3,且S1=4,S2=8,则S3=

;

7.直角三角形两条直角边的长分别为6,8,则斜边上的高为

.

8.一个长方形的长为12 cm,对角线长为13 cm,则该长方形的周长为

.

9.如图所示,某人欲横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离欲到达点B的距离为200 m,结果他在水中实际游了520 m,则该河的宽度为

.

10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,BC∶AC=3∶4,则BC=

.

【拓展探究】

11.如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60 m,BC=84 m,AE=100 m,则这条小路的面积是多少?

12.已知等腰三角形的一条腰长是5,底边长是6,求它底边上的高.

【答案与解析】

2221.D(解析:因为3+4=5.故选D.)

2.C(解析:根据勾股定理的几何意义,可得正方形A,B的面积和S1=34,正方形C,D的面积和为S2=13,最大正方形E的面积为S3=S1+S2=47.)

3.D(解析:由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,知CM=AM=BM=1.2 km.故选D.)

4.B 5.B (解析:先根据翻折变换的性质得出CD=C'D,∠C=∠C'=90°,再设DE=x,则AE=16-x,由三角形全等的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C'DE,可得出BE=DE=x,在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值,进而得出DE的长.)

2222226.12(解析:由正方形的面积公式可知S1=BC,S2=AC,S3=AB,在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC+BC=AB,即S1+S2=S3,由此可求S3.)

7.4.8(解析:根据勾股定理求出斜边的长,再根据面积求出斜边上的高.)

8.34 cm (解析:结合图形,易求得长方形的宽为5 cm,然后求解.)

9.480 m(提示:利用勾股定理求解.)

10.9(提示:设BC=3x,AC=4x,又其斜边AB=15,再根据勾股定理即可得出答案.)

222 22211.解:在Rt△ABE中,AE=AB+BE,所以100=60+BE,解得BE=80 m,所以CE=BC-BE=4 m.这条小路的面积2=EC×AB=4×60=240(m).

222 22212.解:作等腰三角形ABC,AD是BC边上的高,所以BD=CD=3.在Rt△ABD中,AB=AD+BD,所以5=AD+3,解得AD=4.故底边上的高为4.

通过对勾股定理的学习感受“数形结合”和“转化”的数学思想,体会数学的应用价值.

学生对于原命题和逆命题中条件和结论的把握不是十分准确,部分学生在语言表述方面仍然有些欠缺.

要使每一个学生都能经历证明的过程,为他们提供充分地寻找证明思路的时间、空间和方法,体会证明的必要性.另外引导学生探索对于命题成立的证明方法,提升他们的演绎推理能力.

随堂练习(教材第16页)

1.∵∠A=∠B=45°,BC=3,∴AC=BC=3,∠C=90°,∴AB=

=3

.

2.证明:在△ABC中,∵AD是BC边上的中线,∴BD=DC=BC=5.又∵AD=12,AB=13,∴AB=AD+BD,∴△ABD是直角三222

角形,∴AD⊥BC,∴AD垂直平分BC,∴AB=AC.

3.解:(1)原命题是真命题.逆命题:多边形是四边形.逆命题是假命题.

(2)原命题是真命题.逆命题:同旁内角互补,两直线平行.逆命题是真命题.

(3)原命题是假命题.逆命题:如果a=0,b=0,那么ab=0.逆命题是真命题.

习题1.5(教材第17页)

1.解:过点E作EF∥AB,交AD于点F.∵AB∥CD,EF∥AB,∴AB∥EF∥DC,∴∠BAE=∠AEF=25°,同理∠FED=∠EDC=65°,∴∠AED=∠AEF+∠FED=25°+65°=90°,∴△AED是直角三角形,又∵AE=2,ED=3,∴根据勾股定理得AD=

=

.

2.解:∵BC⊥AC,∴∠BCA=90°,又∵∠A=30°,AB=10 m,∴在Rt△ACB中,BC=AB=×10=5(m),根据勾股定理,可得

AC=

-

=5

(m),在Rt△AB1C中,同理B1C=

AC=

×5

=

(m),∴AB1=

-

=

-

=

(m).又∵在Rt△AB1C1中,∠A=30°,∴B1C1=

AB1=

×

=

(m).

3.解:由已知条件得在Rt△BED中,∠BDE=30°,∴BE=BD,又∵ED=30 m,根据勾股定理得BE+ED=BD,即222

+30=BD,解得BD=20

,∴BE=×20

=10

,∴大树的高度约为10

+1.52≈18.8(m).

22

4.解:没有一条边线为东西向.

5.解:把侧面A'ABB'和侧面B'BCC'展开成平面图形,AC'的长是

=2

(cm).把侧面A'ABB'和上底面A'B'C'D'展开成平面图形,AC'的长是

=

(cm).因为2

<

,所以爬行的最短路径的长是2

cm.

如图所示,在等腰直角三角形OAA1中,∠OAA1=90°,OA=1,以OA1为直角边作等腰直角三角形OA1A2,以OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3,…,则OA4的长度为

.

〔解析〕

∵△OAA1为等腰直角三角形,OA=1,∴AA1=OA=1,OA1=

OA=

.∵△OA1A2为等腰直角三角形,∴A1A2=OA1=

,OA2=

OA1=2.∵△OA2A3为等腰直角三角形,∴A2A3=OA2=2,OA3=

OA2=2

.∵△OA3A4为等腰直角三角形,∴A3A4=OA3=2

,OA4=

OA3=4.故填4.

若△ABC的三边a,b,c满足条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,试判断△ABC的形状.

解:∵a+b+c+50=6a+8b+10c,

222∴a-6a+9+b-8b+16+c-10c+25=0,

222即(a-3)+(b-4)+(c-5)=0,

∴a=3,b=4,c=5.

222∵3+4=5,

∴△ABC是直角三角形.

222

如图所示,某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处,在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上.该货船航行30分钟后到达B处,此时再测得该岛在北偏东30°的方向上,已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁.若继续向正东方向航行,该货船有无触礁危险?试说明理由.

解:该货船无触礁的危险.理由如下:

过点C作CD⊥AD于点D.(如图所示) ∵∠EAF=60°,∠FBC=30°,

∴∠CAB=30°,∠CBD=60°.

∴在Rt△CBD中,CD=

BD.

∴在Rt△CAD中,AD=

CD=3BD=24×0.5+BD,

∴BD=6.∴CD=6

.

∵6

>9,

∴该货船继续向正东方向航行,无触礁危险.