3.1.3 导数的几何意义公开课参赛课教案

3.1.3

导数的几何意义

【课标要求】

1．理解导函数的概念；理解导数的几何意义．

2．会求导函数．

3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．

【核心扫描】

1．求曲线上某点处的切线方程．(重点) 2．导数的几何意义的综合应用．(重难点) 自学导引

1．导数的几何意义

(1)割线斜率与切线斜率

设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝

f（x0＋Δx）－f（x0）Δx ．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝

＝

f（x0＋Δx）－f（x0）Δx . 2．导函数的概念

当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)是x的一个函数，我们称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝lim f（x＋Δx）－f（x）Δx．

想一想：f′(x0)与f′(x)的区别是什么？

提示

f′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x0，Δx无关；f′(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关．

题型一

已知过曲线上一点求切线方程

【例1】

求曲线f(x)＝x3＋2x－1在点P(1，2)处的切线方程．

[思路探索] 经验证P(1，2)在曲线f(x)＝x3＋2x－1上，求出f(x)在x＝1处的导数f′(1)，由导数的几何意义即可写出曲线在P(1，2)处的切线方程．

解

易证得点P(1，2)在曲线上，由y＝x3＋2x－1得

Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1 ＝(3x2＋2)Δx＋3x•(Δx)2＋(Δx)3，

ΔyΔx＝3x2＋2＋3x•Δx＋(Δx)2，

当Δx→0时，3x2＋2＋3x•Δx＋(Δx)2→3x2＋2，

即f′(x)＝3x2＋2，所以f′(1)＝5，故点P处的切线斜率为k＝5，∴点P处的切线方程为y－2＝5(x－1)，

即5x－y－3＝0. 规律方法

一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，P(x0，y0)是曲线C上的定点，由导数的几何意义知k＝lim ΔyΔx＝lim f（x0＋Δx）－f（x0）Δx，继而由点斜式可得点斜式方程，化简得切线方程．

【变式1】

求过曲线y＝1x在点2，12处的切线方程．

解

因为lim f（2＋Δx）－f（2）Δx＝lim 12＋Δx－12Δx＝

lim －12（2＋Δx）＝－14.所以这条曲线在点2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为

y－12＝－14(x－2)，即x＋4y－4＝0. 题型二

求过曲线外一点的切线方程

【例2】

求过点A(2，0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．

[思路探索] 点(2，0)不在曲线上，所以此点不是切点，可以先设出切点坐标，建立关于切点坐标的两个方程，求出切点坐标．

【变式2】

试求过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．

解

由已知得ΔyΔx＝2x＋Δx，∴lim ΔyΔx＝2x，即y′＝2x. 设所求切线的切点为A(x0，y0)，

∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x20，

又∵A是切点，∴过点A的切线的斜率y′|x＝x0＝2x0. ∴切线方程：y－x20＝2x0(x－x0)．

又∵切线过点(3，5)，即5－x20＝2x0(3－x0)，

∴有x20－6x0＋5＝0，x0＝1或x0＝5，

∴切点为(1，1)或(5，25) ∴所求方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 题型三

求切点坐标

【例3】

(12分)已知抛物线y＝2x2＋1，求

(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？

(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0? 审题指导

[规范解答] 设点的坐标为(x0，y0)，则

Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0•Δx＋2(Δx)2. ∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx. 当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于4x0. 即f′(x0)＝4x0.(3分) (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，

∴斜率为tan 45°＝1.(4分) 即f′(x0)＝4x0＝1得x0＝14，该点为14，98.(6分) (2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，

∴斜率为4，(7分) 即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1，3)．(9分) (3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，

∴斜率为8，(10分) 即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2，9)．(12分)

【题后反思】

解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．

【变式3】

在曲线y＝x2上过哪一点的切线，

(1)平行于直线y＝4x－5；

(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；

(3)与x轴成135°的倾斜角．

解

f′(x)＝

f（x＋Δx）－f（x）Δx＝

（x＋Δx）2－x2Δx＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．

(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，

所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，

即P(2，4)是满足条件的点．

(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，

所以2x0•13＝－1，得x0＝－32，y0＝94，

即P－32，94是满足条件的点．

(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，

所以其斜率为－1.即2x0＝－1，

得x0＝－12，y0＝14，

即P－12，14是满足条件的点．

方法技巧

数形结合思想在导数的几何意义中的应用

数形结合解题就是解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数的信息，利用数量特征，将其转化为代数问题．在解决与数量有关的问题时根据数量结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题，从而利用数形的各自优势尽快得到解题途径，这对提高分析和解决问题的能力将有极大的帮助．

导数的几何意义就是切线的斜率，涉及此类问题可借助数形结合思想来解决．

【示例】

如图所示，物体运动的位移随

时间变化的函数f(t)＝－t2＋4t＋5的图象，

试根据图象，描述、比较曲线f(t)在

t＝－1，2，3，4附近的变化情况．

[思路分析] 由于函数y＝f(t)在某处的导数，就是曲线y＝f(t)在某处的切线的斜率，因此可借助图象上某点切线斜率的大小来说明曲线在某点附近的变化情况．

解

用曲线f(t)在－1，2，3，4处的切线斜率的大小来刻画曲线f(t)在－1，2，3，4附近的变化情况．

(1)当t＝－1时，曲线f(t)在－1处的切线l1的斜率f′(－1)>0，在t＝－1附近曲线上升，即函数f(t)在t＝t1附近单调递增．

(2)当t＝2时，曲线f(t)在2处的切线l2平行于t轴，f′(2)＝0，说明在t＝2附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

(3)当t＝3，4时，曲线f(t)在3，4处的切线l3，l4的斜率f′(3)<0，f′(4)<0，说明在t＝3，4附近曲线下降，即函数f(t)在3，4附近都是单调递减的．

但从图象可以看出，0>f′(3)>f′(4)，直线l3的倾斜程度小于l4的倾斜程度，这说明曲线f(t)在t＝3附近比t＝4附近下降的缓慢．

方法点评

导数的几何意义就是切线的斜率．借助图象，用斜率的正负及大小来说明曲线的变化情况既科学又直观，注意归纳总结．