3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计(教案)

《空间向量的数量积运算》教学设计

作者：吴庆丽

一、

学情分析

1.教学内容：本节课是人教A版选修2-3 第三章3.1.3第一课时。

2.在教材中的地位和作用：《空间向量的数量积运算》是数学新课程教材人教A版选修2-3第三章第一节的内容，本节内容共4课时，本节课为第三课时。空间向量的数量积运算是在学生学***面向量数量积运算及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容．是平面向量数量积运算及其研究方法在空间的推广和拓展,沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构．为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定了知识和方法基础．

3.学生情况分析：本课的学习对象高二学生,他们已掌握了平面向量的坐标表示、坐标运算及规律，并学过了空间向量基本定理；学习上具备了一定观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺. 二、教学目标

根据本节课的教学内容以及学生的认知水平，我确定了本节课的教学目标：

1.知识与技能：

①

掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式；

②

运用公式解决立体几何中的有关问题。

2.过程与方法

①

比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；

②

探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：

①

通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式；

②

通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数学的热情。

二、教学重难点

1.教学重点：空间向量数量积公式及其应用

2.教学难点：如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决立体几何问题。

三、教学过程

（一）回顾平面向量数量积的相关内容：

①

平面向量的夹角；

②

空间向量的数量积；

设计思路：以问题的形式引导学生回顾复习前面所学的平面向量的相关知识，为学习好空间向量做好铺垫。

（二）新课讲解：

1．空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；

若a,b

2．向量的模：

设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|；

3．向量的数量积：

已知向量a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记作ab，即ab|a||b|cosa,b．

已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影；可以证明AB的长度2，则称a与b互相垂直，记作：ab；

e

B

AA

BC

|AB||AB|cosa,e|ae．|

4．空间向量数量积的性质：

（1）ae|a|cosa,e．

（2）abab0．

（3）|a|2aa．

5．空间向量数量积运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．

（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律）．

设计意图：力求改变单一、被动的学习方式，让学生成为学习的主人，给他们提供一个自主探索学习的机会.让学生对两个问题进行对比分析，强化对空间向量的数量积运算的理解. 不同层次的题目，层层递进，不断提高学生的能力。不仅巩固新学的知识，而且让不同层次的学生得到不同的收获。

（三）例题分析：

例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且lm,ln

求证：l．

证明：在内作不与m,n重合的任一直线g，

在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n相交，

∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在

唯一有序实数对(x,y)，使gxmyn，

∴lgxlmyln，又∵lm0,ln0，

∴lg0，∴lg，∴lg，

所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l．

gnllmnmg

例2．已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC．

证明：（法一）ADBC(ABBD)(ACAB)

ABACBDACABABBD

AB(ACABBD)ABDC0．

（法二）选取一组基底，设ABa,ACb,ADc，

∵ABCD，∴a(cb)0，即acba，

同理：abbc，，

∴acbc，

∴c(ba)0，∴ADBC0，即ADBC．

说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

2OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，例3．如图，在空间四边形OABC中，OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。

解：∵BCACAB，

∴OABCOAACOAAB

O

|OA||AC|cosOA,AC|OA||AB|cosOA,AB

84cos13586cos12024162

OABC24162322

∴cosOA,BC，

855|OA||BC|所以，OA与BC的夹角的余弦值为A

B

C

322．

5说明：由图形知向量的夹角时易出错，如OA,AC135易错写成OA,AC45，切记！

设计意图：通过典型例题让学生理解本节的知识点

四、课堂小结

通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：

1、证明两直线垂直; 2、求两点之间的距离或线段长度; 3、求两直线所成角.

五、作业

必做题：P92 练习1、2、3 选做题： A组 1、2、3、4

设计意图：作业可以反映学生对本节知识的掌握程度。可根据作业情况，强化训练。

六、教学反思

《空间向量的数量积及运算》是在高一年级学***面向量的数量积及运算》之后学习的内容，从向量的角度是将二维空间拓广到三维空间的一次尝试，课本的安排是通过类比的方式得到的。从向量的角度出发，向量的概念及相关运算不会随着空间维度的变化而变化，且这是一节概念课。空间向量夹角和模的概念及表示方法；两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。从课堂的设计过程看充分体现了教学目标的实现。结合学生对高一知识的遗忘和学生基础不是很好，在授课时适当进行补充,引导和启发，使得知识点的迁移和总结水到渠成，有效完成了教学目标。但本节课在教学设计中，对学生程度准备不足，由于学生理解能力不足，在本来不需要过多花费时间的地方进行引导、启发，使得时间的分配不够合理，以致完成预定教学目标的时间比较紧张。对学情把握不当，内容设计偏多，以致时间紧促