3.1.2 导数的概念优质公开课教案

3．1导数的概念（一）

一、教学目的：

1.了解曲线的切线的概念

2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．

3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程

二、教学重点：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．

三、教学难点：会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率. 四、授课类型：新授课

五、课时安排：1课时

导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题.导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的. 微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作.但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执.其实，他们差不多是在相同的时间相互独立地发明了微积分.方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式稍有差异.牛顿在1687年以前没有公开发表，莱布尼兹在1684年和1686年分别发表了微分学和积分学. 所以，就发明时间而言，牛顿最于莱布尼兹，就发表时间而言，莱布尼兹则早于牛顿.关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论.而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的.而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布尼兹发明的符号，因此，使自己远离了分析的主流

六、教学过程：

y1、复习引入： 切线圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线

2、讲解新课：

Ox1）曲线的切线

如图，设曲线c是函数yf(x)的图象，点P(x0,y0)是曲线 c 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线

yy=f(x)QyPOxMx

2）确定曲线c在点P(x0,y0)处的切线斜率的方法：

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因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ的斜率tan,即

tan=limx0f(x0x)f(x)ylim

xx0x我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了. 3、讲解范例：

2例1曲线的方程为y=x+1，那么求此曲线在点P(1，2)处的切线的斜率，以及切线的方程. 解：k=limyy=x2+1y=2xP(1,2)Ox0f(x0x)f(x0)

xxf(1x)f(1)(1x)21(121)limlim

x0x0xx(x)22xlimlim(x2)2

x0x0x∴切线的斜率为2. 切线的方程为y－2=2(x－1)，即y=2x. 3例2求曲线f(x)=x+2x+1在点(1，4)处的切线方程. 解:k=x0limf(x0x)f(x0)f(1x)f(1)lim

x0xx(1x)32(1x)1(13211)lim

x0xyy=5x-1y=x3+2x+1P(1,4)Ox5x3(x)2(x)3limx0xlim[53x(x)2]5

x0 ∴切线的方程为y－4=5(x－1)，

即y=5x－1 例3求曲线f(x)=132x－x+5在x=1处的切线的倾斜角. 3分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k=tanα，求出倾斜角α.

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解：∵tanα=limx0f(x0x)f(x0)f(1x)f(1)

limx0xx11(1x)3(1x)25(15)3

lim3x0x1(x)3x1lim[(x)21]1

lim3x03x0x∵α∈［0，π3)，∴α=π. 43π. 4∴切线的倾斜角为例4求曲线y=sinx在点(1,)处的切线方程. 62f(x)f()sin(x)sin66lim66

解：k=limx0x0xx131cosxsinx22lim1cosx13limsinx

lim2x0x02xx2x0x1lim2x02sin2xxsin22(x)3

231lim2x0(x)222x22133

10222∴切线方程是y13(x)，

226即y331x

21223例5 y=x在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标. 3解：设点P的坐标(x0，x0) f(x0x)f(x0)(x0x)3x03lim∴斜率3=lim

x0x0xx

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3x02x3x0(x)2(x)3lim[3x023x0x(x)2]3x02

limx0x0x∴3x0=3，x0=±1 ∴P点的坐标是(1，1)或(－1，－1)

4、课堂练习：

21．已知曲线y=2x上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线方程. 2f(1x)f(1)2(1x)2212解：(1)k=lim

limx0x0xx4x2(x)2limlim(42x)4

x0x0x∴点A处的切线的斜率为4. (2)点A处的切线方程是y－2=4(x－1)即y=4x－2 22.求曲线y=x+1在点P(－2，5)处的切线方程. f(2x)f(2)(2x)21(2)21解：k=lim

limx0x0xx4x(x)2limlim(4x)4

x0x0x∴切线方程是y－5=－4(x+2)，即y=－4x－3. 点评：求切线的斜率与方程，主要转化为求极限，要从切线的斜率的定义出发

5、小结

：这节课主要学习了曲线在一点处的切线以及切线的斜率的概念.要学会利用求极限来得到切线的斜率以及斜率的方程 6、布置作业

7、板书设计

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