4.6 对数函数的图像与性质教学目标

对数函数

1．对数：(1) 定义：如果abN(a0,且a1)，那么称 为 ，记作 ，其中a称为对数的底，N称为真数.

①

以10为底的对数称为常用对数，log10N记作___________．

②

以无理数e(e2.71828)为底的对数称为自然对数，logeN记作_________．

(2) 基本性质：

①

真数N为 (负数和零无对数)；②

loga1 ；③

logaa ；

01④

对数恒等式：alogaN ．

N(3) 运算性质：

① loga(MN)＝_______；② logaM＝______；③ logaM＝ (n∈R). nN④

换底公式：logaN＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) nnlogmbab⑤

a .m

2．对数函数：①

定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；

ya(a0,且a1)互为反函数. 4) 函数ylogax与函数 x② 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当0a1时，图象向上无限接近y轴；当a1时，图象向下无限接近y轴)；

4) 函数y＝logax与 的图象关于x轴对称．

③

函数值的变化特征：

0a1

a1

①

x1时 ①

x1时 ②

x1时 ②

x1时 ③

0x1时 ③

0x1时 例1 计算：（1）log（3）lg1223(23)

（2）2(lg2)+lg2·lg5+(lg2)2lg21;2

324-lg8+lg245.493

解：（1）法一 利用对数定义求值

设log2(23)=x,3(2+3)=2-3=x123=（2+3）,∴x=-1.

123-1方法二 log23(23)=log23

2=log23(2+3)=-1.

-1（2）原式=lg2（2lg2+lg5）+(lg2)2lg21=lg2(lg2+lg5)+|lg2-1|

=lg2+(1-lg2)=1.

11411431（3）原式=（lg32-lg49）-lg82+lg245= (5lg2-2lg7)-×lg2+ (2lg7+lg5)2232232

=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5=lg(2×5)= lg10=.变式训练1：化简求值.（1）log217+log212-log242-1;24852121212121212

2（2）(lg2)+lg2·lg50+lg25;

（3）(log32+log92)·(log43+log83).

解：(1)原式=log2748+log212-log242-log22=log271248422log2122log22323.2

（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.

（3）原式=(lg2lg2lg3lg33lg25lg35)·()·.

lg32lg32lg23lg22lg36lg24例2

比较下列各组数的大小.1212121）log32与log56;35bac2）log1.10.7与log1.20.7;

（3）已知logb＜loga＜logc,比较2,2,2的大小关系.

解：（1）∵log32＜log31=0,而log56＞log51=0,∴log32＜log56.

3535(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,∴0＞log0.71.1log0.71.2,

∴1log0.71.11log0.71.2,log1.10.7＜log1.20.7.

方法二 作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.

如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7.

(3)∵y=log1x为减函数，且logblogalogc,2121212

∴b＞a＞c,而y=2是增函数，∴2＞2＞2.

变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga1,logb,log1的大小关系是 （ ）

babxbacbA.loga11logablogbbb

B.logblogaa11logbbbC.logblogab11logabbD.logb11logalogab bb解： C 例3已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，

试求a的取值范围.

解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.

所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上为增函数，

∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=logax在［3，+-f（x）在［3，+∞）上为增函数.

∴对于任意x∈［3，+|f(x)|=-f(x)≥-loga3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+-loga3≥1

∴loga3≤-1=loga111,即≤3,∴≤a＜1.a3a

13综上，使|f(x)|≥1对任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范围是：(1，3］∪［，1）. 3已知函数f（x）=log2(x-ax-a)在区间（-∞,21-3］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.

解：令g(x)=x-ax-a, 则g(x)=（x-2aa22）-a-,42由以上知g(x）的图象关于直线x=a对称

2且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log2g(x)的底数2＞1,在区间（-∞,1-3］上是减函数，所以g(x)=x-ax-a在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.

a13a2232，即∴

解得2-23≤a＜2.故a取值范围是{a|2-23≤a＜2}.

2g(13)0(13)a(13)a02例4

已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行与函数y=log2x的图象交于C、D两点.1）证明:点C、D和原点O

（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.

（1）证明

设点A、B的横坐标分别为x1、x2,

由题设知x1＞1,x2＞1,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.

因为A、B在过点O的直线上，所以log8x1log8x2

x1x2点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),OC的斜率为k1=log2x13log8x1,x1x1log2x1=log8x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,log82

OD的斜率为k2log2x23log8x2,x2x2

3由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上.

（2）解：

由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2,x2=x1,

代入x2log8x1=x1log8x2，得x1log8x1=3x1log8x1,由于x1＞1,知log8x1≠0,故x1=3x1,

又因x1＞1,解得x1=3,于是点A的坐标为（3，log83). 变式4：已知函数f(x)=log2x1+log2(x-1)+log2(p-x).（1）求f(x)的定义域（2）求f(x)的值域.x1x1x10解：（1）f(x)有意义时，有x10px0①,②,③,3313

由①、②得x＞1,由③得x＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p＞1,f(x)的定义域是(1,p). （2）f(x)=log2［(x+1)(p-x)］=log2［-（x-2p12(p1)）+］ (1＜x＜p),24

p1p12(p1)2(p1)2p12(p1)2)①当1＜＜p，即p＞3时，0＜-(x-,∴log2(x≤)2442242log2(p+1)-2.

②当p1≤1，即1＜p≤3时，2∵0＜-(x-p12(p1)2p12(p1)2)2(p1),∴log2(x)＜24241+log2(p-1).

综合①②可知：当p＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log2(p+1)-2］;

当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)).