复习参考题优秀教学实录

高三数学第一轮复习理科立体几何部分解答题的解题方法

课题名称：

高三数学第一轮复习——理科立体几何部分的解答题的解题方法

学校：

航天中学

教学背景分析

（一）

本课时教学内容的功能和地位

本节教学内容是2014年北京高考数学理科第17题，本小节的教学内容突出体现了立体几何解答题在高考中的的重要地位。因为在高考中立体几何是学生必须要拿到全部分数的重点题目. 通常这些题目属于高考中的中低档题，难度不大．同时立体几何的解答题也是对高中数学课程标准中所提出来的数学学科核心素养中的逻辑推理、直观想象、数学运算等方面做出了考察。所以本节课的重点就是运用解决立体几何的基本解题方法分析题目条件使学生能够获得解决立体几何的基本方法，提高从数学角度分析问题和解决问题的能力。

（二）

学生情况分析

我所教授的是普通高中校高三年级的学生，经过前一阶段的复习，学生已经基本掌握了高三数学立体几何部分基本知识与方法，具备了解决立体几何相关问题的能力.因此，对于解决立体几何这部分的解答题的解题过程不是一个难点.但是对于普通高中校的学生来说，数学能力参差不齐，部分学生的数学基础和技能还是非常薄弱的，立体几何的空间想象力和数字运算对他们来说无疑是非常大的一个挑战.然而认识立体图形、看懂点、线、面的关系、掌握数学的逻辑退对于高中学生来说还是非常重要的.因而，在教学过程中如何选取例习题激发学生的学习兴趣，如何分析问题、解决问题才能不让学生产生畏难情绪.怎样做才能让学生更好的理解并掌握本节的学习内容，是我主要思考的问题。

（三）

教学准备

教学目标

1.研究立体几何的证明问题，体会立体几何在高考题中地位与难度；

2.通过对本道立体几何的作答，进一步体会北京高考的特点；

3.通过对高考中立体几何的探究过程，感受逻辑推理的应用价值，提高对数学解题的信心，减少对高考数学的畏惧感

1

教学重点和难点分析

教学重点：正确的解答高考中立体几何的题目

教学难点：立体几何的几何法证明和向量法的运算，以及正确的解决立体几何问题

教学方法

教师引导讲授，学生思考、理解、掌握，并亲自实践动手解题

教学过程

教学环节

师生活动

师：前几节课，我们复习了立体几何的点、线、面的位置关系以及线面面面平行和垂直的判定定理和性质定理，下面请同学们回答一下线面平行的判定定理和性质定理？

生：线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则线面平行. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，则过这复习引入，回条直线有一个平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行。

复习旧知识

生：注明直线在平面外

师：线面平行的性质定理证明时需要注意什么？

生：交代交线 师：什么时候想到用线面平行的判定和性质呢？

生：题目中要求证明线面平行时用线面平行的性质，如果题目中要求证明线线平行时可以想到用线面平行的性质。

师：线面平行判定定理证明时时需要注意什么？

顾、所学过的立体几何的定理，明确其使用方法. 帮助学生为后面的解题做一个铺垫

设计意图

2

教学环节

师：请看线面这道题：

师生活动

设计意图

【2014年北京理17】如图，正方形AMDE的边长为2，在五棱锥PABCDE中，F为B,C分别为AM,MD的中点，棱PE的中点，平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H. （1）求证：AB//FG；

（2）若PA底面ABCDE，且AFPE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.

对于理科的立体几何问题，我们通常采用的是向量法证明

问题1：能不能用向量法证明第一问

创设情境、引入课题

生：不能。

师：为什么？

生：因为不能建立空间直角坐标系

师：空间直角坐标系有3个轴，那么在第一问里哪个轴不能确定？

生：Z轴

那么该如何解决第一问呢？

学生思考

分析：

师：我们现在只能用几何法来证明第一问，那么证明线线平行有几种方法？

生1：已知线面平行可以得到线线平行

生2：公理4已知线线平行可以得到线线平行

生3：已知面面平行，同时和第三个平面相交，可以得线线平行

教师补充：已知两条直线同时和一个平面垂直，则两直线平行

3

引导学生把所求的问题与已知的条件联系起来

教学环节

师生活动

设计意图

师：下面我们来看这道题满足什么条件？

学生思考，能够知道底面有正方形，有中点，但不知道怎么证明．

师：第一问证明AB//FG，是位置关系还是数量关系？

生：位置关系.（一起答）

师：那么在已知条件中哪些能得到平行呀？

生：正方形 师：正方形里能得到谁平行？

学生恍然大悟. 师：那么有线线平行了又该如何继续呢？

生：

有线线平行，可以得到线面平行

师：得到线面平行继而呢？

生：就可以得到线线平行了 师：好的，下面开始证明

教师引导，解决问题

生：（Ⅰ）在正方形MADE中，因为B是AM的中点，所以本题的选取比较符合学生的实际能力，又是高考题能够吸引学生的注意力，本题的计算量并不太大，比较符合学生的计算能力，学生不会产生畏难情绪，符合学生的认知规律，很好的体现了前面所学知识的应用

AB//DE，

又因为AB平面PDE

所以AB//平面PDE

所以AB//FG 师：正确吗？能不能再完善一下. 生：噢，没写交线.

因为AB平面ABF，且ABF平面PDEFG 师：好，到目前为止，我们已经正确的解决第一问了，通过第一问我们进一步掌握了，证明线线平行的方法，好，下面我们来证明第二问，如何做？

对于第二问中的第一个问题，学生独立可以解决了

生：因为PA底面ABCDE，所以PAAB,PAAE

如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，BC(1,1,0)，

设平面ABF的法向量为n(x,y,z)，则

4

nAB0,

即nAF0,x0,

yz0令z1，则y1，所以n(0,1,1)，

设直线BC与平面ABF所成角为，则

sin|cosn,BC|nBC1

|n||BC|2因此直线BC与平面ABF所成角的大小为 6师：解答的非常完美！那么第三问又该如何解决呢？如何求PH的长？那么在向量里如何求PH的长呢？

生：把H的坐标求出来

师：很好，那么现在H在哪儿呀？

生：线段PC上

师：咱们前面学过：当H点某一条线段上的时候，怎么设出来？

生：用设出来

师：H点还在哪儿上？

生：面ABF上

师：那么现在这个面ABF知道什么了？

生：法向量了

师：很好，那么一个面的法向量有何特点呀？

生：和这个面垂直

师：如果跟一个面垂直，就一定跟面里的线什么关系？

生：也一定垂直

师：面里的线也可以用向量表示，那么两个向量垂直该如何表示呢？

生：点乘为0 师：那么找哪条线更简单？

生：AH最简单

5

教学环节

师生活动

师：分析的非常的好，下面把求解过程写出来 生：因为点H在棱PC上，所以可设PHPC(01)，

设设计意图

PHPC2,,2，所以可得H2,,22

深入挖掘问题，多角度的体现立体几何中向量的应用

因为即所以AH2,,22

(u,v,w2)(2,1,2)，所以通过对点H的解释，看出问题的本质，并回答了题目中的问题

u2,v,w22

n是平面ABF的法向量，所以nAH0，即(0,1,1)(2,,22)0

解得2422，所以点H的坐标为(,,)，

3333所以PH()()()2

432232432小结：由上述例题的解题过程，我们可以得到立体几何求解问题的基本方法：

阶段性小结

（1）对于几何法证明立体几何问题时，一定要关注判定定理和性质定理的使用条件，重要的条件一定要表达清楚；

（2）利用向量法求解空间三种角（异面直线所成角、线面角、面面角）的方法；

（3）学习如何分析问题、解决问题，保证正确的解答出问题。

适当地对解题方法进行小结可以让学生有据可循，并且规范解题过程

6

练习：

【2012年北京理16】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2. (I)求证：A1C⊥平面BCDE；

(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由

尝试独立解题，教师辅助

解：（1）CDDE，A1EDE

进一步体会解决立体几何问题的思想和方

法，进一步强化用立体几何解题的过程

DE平面A1CD，

又AC平面A1CD，

1DE

AC1又A1CCD，

平面BCDE。

AC1（2）如图建系Cxyz，则D2，0，0，A0，0，23，B0，3，0，E2，2，0∴A1B0，3，23,A1E2，1，0

设平面A1BE法向量为nx，y，z

3zy2xy3y23z0ABn02

则1 ∴ ∴2xy0A1En07

教学环节

∴n1，2，3

师生活动

设计意图

zA1

(0,0,23)ME (-2,2,0)yB (0,3,0)又∵M1，0，3

∴CM1，0，3

∴cosC (0,0,0)xD (-2,0,0)CMn1342

2|CM||n|14313222，进一步体会立体几何解题的思想和方法，进一步强化用立体几何解题的∴CM与平面A1BE所成角的大小45。

面A1BE

（3）设线段BC上存在点P，使面A1DP巩固练习

设CPCB0,3,0，0,1，所以P0,3,0

过程，另外本题设面A1DP的法向量为mx,y,z

是折叠问题，可A1P0,3,23,A1D2,0,23

以很好的体现由平面到空间的点线面位置关系，较全面的考查了学生的空间想象力

A1Pm03y23z0，，令z1

2x23z0A1Dm0解得m3,23,1

3所以mn0 34330

320，

3因为01，所以∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直。

课堂小结

布置作业

本节课主要复习了：

(1)知识上：立体几何几何法证明和向量法求角和距离的方法；总结解题的思(2)应该学会如何去分析问题和解决问题，特别是如何寻找问题想方法

的切入点

学案上的题目

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板书设计

立体几何解答题

例题 练习

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