习题1.1优质教案设计

命题及其关系复习

突破点(一)

命题及其关系

基础联通

抓主干知识的“源”与“流”

1．命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及相互关系

3．四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.

命题的真假判断

[例1]

下列命题中为真命题的是( ) 11A．若x＝y，则x＝y

B．若x2＝1，则x＝1 C．若x＝y，则＝

D．若x

[解析]

取x＝－1，排除B；取x＝y＝－1，排除C；取x＝－2，y＝－1，排除D. [答案]

A

[方法技巧] 判断命题真假的思路方法

(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p，则q”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判

定．

(2)一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这个命题真假的方法：

①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；

②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．

四种命题的关系

由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．

[例2]

(1)命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题是( ) A．若a>b，则a－1≤b－1

B．若a>b，则a－1

D．若a

B．2

C．1

D．0 [解析]

(1)根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．

(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．

[答案]

(1)C

(2)C

[方法技巧] 1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项

(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．

(2)若命题有大前提，需保留大前提．

2．判断四种命题真假的方法

(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．

(2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．

能力练通

抓应用体验的“得”与“失”

1．[考点一]下列命题中为真命题的是( ) A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程

B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点

C．互相包含的两个集合相等

D．空集是任何集合的真子集

解析：选C

A中，当m＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B中，当Δ＝4＋4a<0，即a<－1时，抛物线与x轴无交点，故是假命题；C是真命题；D中，空集不是本身的真子集，故是假命题．

2．[考点二]命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是( ) A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0 B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0 C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0 D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0 解析：选D

将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.故原命题的逆否命题是“若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0”．

π3．[考点二]命题“若△ABC有一个内角为3，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题( ) A．与原命题同为假命题

B．与原命题的否命题同为假命题

C．与原命题的逆否命题同为假命题

D．与原命题同为真命题

解析：选D

原命题显然为真命题，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数π列，则△ABC有一个内角为3”，它是真命题．故选D. 4．[考点二]有下列四个命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的三角形全等”的否命题；

③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．

其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号)．

解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“若两个三角形面积不相等，则

这两个三角形不全等”，显然是真命题；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题是假命题，所以其逆否命题是假命题．故真命题为①②③. 答案：①②③