习题2.1优质课教案整理

圆锥曲线中的最值问题

【教学目标】

1、知识与技能：使学生明确求圆锥曲线中的最值问题的基本方法. 2、过程与方法：培养学生的分析问题和解决问题的能力,渗透数形结合、化归与转化的思想。

3、情感、态度与价值观:通过对问题的探究，使学生理解事物间普遍联系与辩证统一观点，并能体验成功的喜悦。

【教学重点与难点】

1、重点：求圆锥曲线中的最值问题的基本方法。

2、难点：形与数的转化，化归思想的应用。

【教法】

诱思探究法

【教学手段】

微机辅助教学

【教学程序】

方法一：圆锥曲线的定义转化法

根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等，这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。

关键：用好圆锥曲线的定义

x2y21412例1、已知点F是双曲线

的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，则的最小值为

.

思维导图

根据双曲线的定义，建立点A、P与两焦点之间的关系——两点之间线段最短

解析：设双曲线右焦点为

PFPA

变式训练：已知P点为抛物线

的距离与P点到抛物线焦点的距离之和的最小值为

_ __，此时P点坐标为

y24x上的点，那么P点到点Q（2，-1）

_.

回顾反思与能力提升：

1、若圆锥曲线为椭圆，A为椭圆内一点，有可

得出什么结论，能否自己设计出一道题目；

2、体现了什么数学思想方法？

3、理论根据是什么？

4、此法适合解决那类问题？

.变式训练：

x2y2F是1的右焦点，P是其上一点，定点B(2,1).

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则

|PB||PF|的最小值__________.

方法二：切

线

法

当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点。

x2y21例2、求椭圆

2

上的点到直线

yx23

的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标. 思维导图

求与

yx23平行的椭圆的切线——切线与直线yx23

的距离为最值，切点就是所求的点.

解：设椭圆与

yx23平行的切线方程为y=x+b yxbx22y12

(1) 3x24bx2b220(4b)243(2b22)0

b31)当b3时,代入(1)得dmin 6;236.2

2)当b3时,代入(1)得dmax

变式训练：

动点P在抛物线y2=4x上，则P点到直线y=x+4的距离最小时，P的坐标是_______ 回顾反思与能力提升：

1、此法用了哪种数学思想方法？

2、有没有别的办法？

3、要注意画出草图，根据图形确定何时取最大值，何时取最小值. 方法三:参

数

法

根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标，把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法. 关键：选取适当的参数表示曲线上的坐标

2例3、在平面直角坐标系中，P(x,y)是椭圆

x

2

y1上动点，则S=x+y的最大值是________. 3

思维导图：

根据椭圆的参数方程表示x、y____将S表示成关于参数的函数

sx3coysin解析：设P点坐标为

(02)

Sxy3cossin312(cossin)222sin(

变式训练：

设求

a,bR3)

. ,a22b26的最大值和最小值，并求a2b取得最值时a、b的值. 回顾反思与能力提升：

1、参数法体现了什么数学思想方法？

2、解析几何中还有哪些曲线可以做这种代换？

3、理论根据是什么？

4、关键是什么？

方法四:基本不等式法

先将所求最值的量用变量表示出来，再利用基本不等式求这个表达式的最值. 这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最为广泛的一种方法. 例4、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它的两个顶点，直线

ykx(k0)与椭圆交于E、F两点，求四边形AEBF面积的最大值.

思维导图：

用k表示四边形的面积_____根据基本不等式求最值

解析：依题意设得椭圆标准方程为

别为x+2y=0,y=kx(k〉0) 设x2y214

直线AB、EF的方程分

x2y2124x1,x2214kykx214k2

根据点到直线距离公式及上式，点E、F到AB的距离分别为

h1h2又x12kx125x22kx225AB5

2(12k2(12k14k2)14k2)

5(14k2)5(14k2)1SAB(h1h2)2∴四边形AFBE的面积为

1当且仅当2k1即k时""成立.2Smax22

变式训练; 过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B两点

，求△AOB面积的最大值

回顾反思与能力提升：

1、关键是什么？

2、应注意什么？

方法五:函

数

法

把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法. 关键：建立函数关系式

例5、点A、B分别是椭圆

P在椭圆上，位于x轴的上方，且PA⊥PF若M为椭圆长轴AB上一点，M到直线AP的距离等于|MB|.求椭圆上点到点M的距离的最小值. 思维导图：

把所求距离表示为椭圆上点的横坐标的函数——求这个函数的最小值

解析：由已知可得点A(-6，0)、F(4,0),设点P(x,y)，则

x2y213620

的长轴的左右端点，F为右焦点，AP(x6,y)x2y213620,FP(x4,y)(1)(2),AFFP(x6)(x4)y203x2y532由(1)、(2)及y>0得

∴AP的方程为x3y60

m6d,MB6m2设M(m，0)，则点M到直线AP的距离

设椭圆上点（x0,y0）到M距离为d d2(x02)2y05x04x0420x029492(x0)156x06929当x0时，dmax152

2变式训练：

x2y21已知双曲线C：4

，P为C上任一点，点A（3，0），则|PA|的最小值为________. 回顾反思与能力提升：

1、关键是什么？

2、应注意的问题有哪些？

3、参数法和基本不等式法是否也是函数法？

小结: 圆锥曲线的最值问题解决方法较多，常见的有五种.有些题目可以用多种方法解决，遇到此类题目时，要选取适当地方法。