3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示优质课一等奖教案

9.6 空间向量的坐标运算教案

一、内容及解析

（一）内容：本节是在学习了空间向量及其运算的基础上，通过类比平面向量的有关知识，而得到空间直角坐标系的空间向量的坐标表示、坐标运算、平行向量、垂直向量坐标之间的关系，中点公式以及空间向量的夹角和距离公式，并通过空间向量的坐标运算来解决立体几何中的问题。

（二）解析：本节之前学习了空间向量及其运算，在那里的空间向量都是用有向线段来表示的，后来又介绍了选择空间的一个基底，用基向量来表示；在那里的向量运算也是基于上述两种表示形式进行的。那么在本节我们把空间的一个基底和基向量进行特殊化，选择单位正交基底和空间任一点建立空间直角坐标系，把所有的空间向量都用空间直角坐标表示，把所有的空间向量运算都变成空间向量的直角坐标运算。这一变化使得代数方法与几何背景之间的联系显得更加紧密，也使得空间向量的运算显得更加简明、方便。所以本节教材在训练学习的坐标法思想、向量思想，以及帮助学生解决立体几何问题等方面都占有重要的地位和作用。

二、目标及解析

（一）目标

1、使学生掌握空间右手直角坐标系的概念，掌握空间向量的坐标运算规律，掌握模长公式、夹角公式、两点间距离公式，了解平面的法向量的概念。

2、使学生学会确定一些简单几何体的顶点坐标，会判断两个向量共线或垂直，会用中点坐标公式解决有关问题，会计算模长、夹角、两点间距离。

3、使学生进一步熟悉坐标法的思想、向量的思想，进一步培养学生对立统一的辩证唯物主义世界观。

（二）解析

1、知道空间右手直角坐标系统的概念，会确定一些简单的几何体（正方体、长方体）顶点的坐标。

2、知道空间向量的坐标运算规律。

3、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直。

4、知道中点坐标公式、向量长度公式、夹角公式、两点间距离公式，并会用运算公式解决有关问题。

5、知道平面的法向量的概念。

三、教学问题诊断分析

1、向量坐标的确定是学生的一个难点，应给学生讲清对于空间任一点P的坐标的确定方法如下：过点P分别作三个坐标平面的平行平面（或垂面），分别交坐标轴于A、B、C三点，x =OA，y =OB，z =OC，当OA与i方向相同时，x＞0，反之，x＜0。同理可确定y、 z。可以将长方体为模型讲解或结合多媒体教学，加强教学的直观性，培养学生的空间想象能力及分析问题、解决问题的能力。

2、夹角公式、距离公式在应用过程中对学生而言也存在一定难度，应使学生总结概括归纳出解题的思想方法。空间两向量的夹角公式类似于平面两向量的夹角公式。如果我们将一个空间几何体放入一个适当的空间直角坐标系，那么我们就可用这个公式很方便地计算几何体上的“线线”夹角了。

空间两点距离公式是空间向量模长公式的推广，其形式非常类似于平面上两点的距离公式，如果知道一个空间几何体上任意两点的坐标，我们就可直接套用。

应该指明，上述二公式都与坐标原点的选取无关。因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离是固定的，坐标系的建立位置不同，只不过会影响其计算的简繁而已。用向量求解角度和距离问题的一般解法步骤为：建立空间直角会标系，找到对应点的坐标，列出问题所涉及的向量的坐标表示，将所求解问题用向量语言反映了来，进而用向量的知识与方法求解。不要刻意去追求任意一种立体几何的向量解法，但一定要设法让自己多掌握一种解决立体几何问题的手段。

四、教学支持条件

本节教学应充分采用多媒体辅助手段，应根据不同的需要，使用投影仪、计算机、黑板，以增大教学容量，节省教学时间，直观展示图形，提高教学效果。

五、教学流程

复习空间向量基本定理、平面直角坐标的运

算规律及夹角、距离公（一）、导入新课

[问题1]：空间向量的基本定理是什么？

[问题2]：空间的一个基底是什么？基向量是什么？

（学生活动）在教师引导下完成提问。

设计意图：通过复习，激活学生头脑中的原有知识，为顺利引入新课作好必要的铺垫。

（二）、新课讲授

[问题3]：空间直角坐标系（右手直角坐标）如何建立？

z

（师生互动）教师边作图边讲解。

（1）把图（1）中的a，b，c的长度都变成1，并使它们互相垂直，就得到单位正交基底，它常常用{i，j，k}来表示。

（2）以O点为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O—xyz，点O叫原点，向c C a b O B A 图（1）

P B′

kj

i O

x 图（2）

讲解空间向量的坐标运算及夹角、距离公讲解空间向量的有关知识在解决问题中的应用

A′

y

量i，j，k都叫做坐标向量。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zO x平面。

（3）作空间直角坐标系O—xyz时，一般使∠xOy =135°或45°，∠yOz =90°. （4）建立的这个坐标系是右手直角坐标系，把右手掌作对照恰好使拇指指x轴正向，食指指向y轴正向，中指指向z轴正向。

通过一步步作图，最后得到图（2）。

z [问题4]：如何进行空间向量的坐标表示？

对于（上述）空间直角坐标中的向量a，

存在唯一的有序实数组（a1，a2，a3），

使a = a1i+a2 j +a3k，其中（a1，a2，a3）

叫做a在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，

上式可简记作a =（a1，a2，a3）。

对（上述）空间直角坐标系中任一点A，对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x，y，z，使OA=x i +y j +z k，其中（x，y，z）叫做点A在此空间直角坐标系的坐标，记作A（x，y，z）。

其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标。

设计意图：采取同化顺应的办法引导学生从已学的知识中转化扩充出空间直角坐标系的有关概念，再加上动画的演示和配合恰当的讲解使学生对每个概念的细节理解和记忆得更加深刻。

练习：学案（1）目标检测1、2、4、5。

问题5：如何进行平面向量的坐标运算？

已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则

a（a1,a2,a3）

A（x,y,z）

yki

O j

x

a + b = a－b = λa = a·b = a∥b a⊥b 设A（x1，y1），B（x2，y2），则ABOBOA= 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 的坐标减去 的坐标。

（学生活动）思考、填空。

（师生互动）让学生回答填空题之后，提出问题。

问题6：如果把平面直角坐标系扩充到空间直角坐标系后，再将a=（x1，y1），b=（x2，y2）改成a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），那么上述运算规律又将怎样呢？

（师生互动）与同学们一起探索研究，把上述各个填空内容更新出来，在讨论中要引导学生认识到同一向量在平面上是用有序实数对a=（x， y）表示。而在这空间用唯一有序实数组a=（x，y，z）表示。所以这两者只是表达方式不同，而实质没有改变。再问，你们能证明这些结论吗？

在上述每个填空内容处更换出新内容，具体见教材上向量的直角坐标运算规律。

（学生活动）与教师一起探究出上述填空内容，然后用自己动手试证各个结论，不懂处请教同学、老师。

设计意图：公式、法则都有一个产生的背景，如果把它们简单地直接抛给学生势必使学生记忆淡薄，理解肤浅。这里师生共同回忆过去的旧知识，再抓住新旧知识的本质联系，师生共同探究出空间向量的直角坐标运算规律就会使学习的效果达到更高的水平。

例1：（课本P42页）

分析：根据向量的直角坐标运算法则求解。

练习：学案目标检测3、6、7、8

例2：（课本P42页）

分析：关键是建立适当的空间直角坐标系，再利用数量积等于0证D1F垂直于平面ADE内的两条相交直线。

练习：学案目标检测9、10 （三）小结

（师生互动）[叙述]本课学习了空间直角坐标系的概念，还学习了空间向量的直角坐标运算法则，并通过几道例题初步认识了概念和法则的应用，这部分知识是空间向量的一个重要基础，在今后的学习中有着广泛的应用，同学们务必认真掌握。

设计意图：归纳本课知识要点，强调教学目标，为学生今后学习指明方向。

（四）布置作业：9.6空间向量的坐标运算学案（1）

第二课时

（一）导入新课

问题1：平面向量的夹角公式、距离公式分别是什么？

（师生互动）投影练习，请学生完成。

1、在平面向量中，设a=（a1，a2），b=（b1，b2），a与b的夹角为，则

a·a = = ，|a|= ，| b |= ，

a·b = ，cos= 。

2、设平面直角坐标中有点A（x1，y1），B（x2，y2），那么

dA，B=|AB|= 。

（学生活动）思考，填空。

设计意图：在空间直角坐标系下的夹角和距离公式与在平面直角坐标下的夹角和距离公式相比，又是从二维变到三维。因此充分抓住这一典型特征进行复习，这样就给学生一个知识的铺垫和认知心理上的过渡，从而顺利地引入下面的新知识。

（二）新课讲授

【类比扩充 建立新知】

问题2：上面我们复***面向量中的夹角和距离公式，现在把平面向量扩展到空间向量，用a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）来表示空间的两个向量a，b，那么上面的夹角和距离公式形式又会是什么？

1、设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），则

222222|a|=a1a2a3，| b |=b1b2b3

a·a =a1b1+ a2b2+ a3b3，

cos< a,b >=a1b1a2b2a3b3aaabbb212223212223

2、已知A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）则

dAB=(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2。

（学生活动）与教师一起讨论得出的公式。

设计意图：与学生共同讨论后写出公式，一方面让学生主动积极地参与教学过程，既发挥了教师的主导作用，也突出了学生的主体地位；另一方面培养了学生的类比归纳能力，使新知识的掌握上升到了更高水平。

[例题示范，学会应用] 例3：（课本45页）

例4：（课本45页）

例5：（课本46页）

例5得到法向量的在关概念

问题3：什么是平面的法向量。

问题4：一个平面的法向量有多少个？为什么？在空间直角坐标系中yOz平面的法向量是什么？

（学生活动）思考，回答：

（1）作为一个平面的法向量只需这个向量垂直于这个平面，而垂直于同一平面的向量虽然方向相同但长度可以不同，因此一个平面的法向量有无数个。

（2）yOz平面的法向量是a=（x，0，0）

设计意图：澄清对法向量概念的疑虑。

[课堂练习]：学案目标检测1、2、3、4、5。

（三）小结

（师生互动）本课主要学习了以下两个公式及其应用

1、cos< a,b >=a1b1a2b2a3b3aaabbb212223212223

2、dAB=(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2。

它们是在空间直角坐标系下求向量的夹角和两定点间的距离的基本工具。我们要注意分清它们与前面利用两个向量的数量积求夹角和利用向量的模求距离的方法之间的区别与联系，同时还要知道什么是法向量，会用法向量解决立体几何中的些问题。

设计意图：重申本课重点，加强记忆，提醒学生注意新旧知识的联系与区别，明确两个公式的地位和作用。

（四）课外作业：9.6空间向量的坐标运算学案（2）

教学反思：学生在用空间向量的坐标运算的有关知识解决立体几何中的相关问题，教师要注意培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，要总结解题的思想方法。

目标检测

1、如图建立直角坐标系，已知正方体的棱长为2，求正方体各顶点的坐标。

2、建立直角坐标系，求作下列各点：

A（2，2，0），B（1，3，0），C（2，2，3），D（0，0，－3）

3、点B是点A（3，4，5）在坐标平面xOy内的射影，求|OB|。

4、在空间直角坐标系O—xyz中：

（1）哪个坐标平面与x轴垂直？哪个坐标平面与y轴垂直？哪个坐标平面与z轴垂直？

（2）写出点P（2，3，4）在三个坐标平面内的射影的坐标；

（3）写出点P（1，3，5）关于原点成中心对称的点的坐标。

5、写出下列各题中的向量的坐标：

（1）i +2 j + 3k； （2）－i +5j－4k； （3）8i + 3k；

（4）－5i－2j－4k； （5）3 j

6、已知a=（－3，2，5），b=（1，5，－1），求：

（1）a + b； （2）a－b （3）6 a （4）a·b

7、已知a=（2，－3，1），b=（2，0，3），c=（0，0，2），求：

（1）a·（b+c） （2）a +6b－8c

8、判定下列各题中的向量是否平行；

（1）（1，2，－2）和（－2，－4，4）； （2）（－2，3，5）和（16，－24，40）

9、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，求证EF⊥DA1。

10、如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，求证DB′⊥平面ACD′。

A A1

D D1

F B1

E B C1

A′

C A D′

B′

D B C′

C

设计意图：通过运用空间向量的坐标表示、坐标运算，以及平行向量、垂直向量坐标之间的关系解决问题，加强学生对本节课知识的理解、认识和应用。

配餐作业

A组

1、已知a=（2，－1，3），b=（－4，2，x），且a⊥b，则x = 。

2、已知点A的坐标为A（1，1，0），向量

3、设AB（－1，2，3），BC=（l，m，n），CD=（0，－1，4），则DA等于 。

4、已知a=（0， 1，－1），b=（1，1，0），且（a

+λb）⊥a，则实数λ的值是 。

5、如果三点A（1，5，－2）、B（2，4，1）、C（a

，3，b+2）在同一条直线上，那么a = ，b= 。

设计意图：通过选择教学中已涉及题目的原形，对其作同等水平或降约水平的变式，弥补课堂教学对知识理解和应用的不足。

B组

6、已知点A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1），若存在点D，使得DB∥AC，DC∥AB，则点D的坐标为 。

7、设向量a =（－1，－2，2），b =（3，λ，4），已知a在b上的射影是1，则λ= 。

10，2），则点B的坐标为 。

AB（4，2

8、已知点A、B、C的坐标分别为（0，1，0）、（－1，0，－1）、（2，1，1），点P的坐标为（x，0，z），若PAAB，PAAC，则P点的坐标为 。

9、已知a （1，1，0）=，b=（1，1，1），若b=b1+b2，且b1∥a，b2⊥a，则b1= ，b2= 。

设计意图：选择教学中已涉及问题原形作同等水平或提高水平的变式，让学生进一步理解、应用所学知识。

C组题：

10、在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使D1M⊥平面EFB1。

设计意图：对教学中已涉及的问题作提高水平的变式，加强学生对知识的应用，拓宽学生解题的思维。

目标检测

1、求下列两个向量的夹角的余弦。

（1）a =（2，－3，3），b=（1，0，0）； （2）a =（－1，－1，1），b=（－1，0，1）

2、求下列两点间的距离。

（1）A（1，1，0），B（1，1，1）； （2）C（－3，1，5），D（0，－2，3）

3、已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），求证△ABC是直角三角形。

4、求到下列两定点距离相等的点的坐标满足的条件：

（1）A（1，0，1），B（3，－2，1）

（2）A（－3，2，2），B（1，0，－2）

5、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是

AB的中点，求对角线DB与CM所成的角的余弦值。

设计意图：通过应用空间向量的夹角和距离公式解决问题，从而加强学生对本节课知识的理解、认识和应用。

配餐作业

A组：

1、正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M分AC1的比为= 。

2、已知a=（λ+1，0，2），b=（6，2－1，2λ），若a∥ b，则λ与的值可以是（ ）

A、2，

A A1

D M B D1

B1

C C1

1，N为BB1的中点，则|MN| 2111 B、， C、－3，2 D、2，2 232

3、已知A（1，0，0）、B（0，－1，1），OA+λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为 。

4、写出与原点距离等于3的点的坐标所满足的条件为 。

设计意图：选择教学中已涉及题目的原形，对其作同等水平或降纸水平的变式，从而弥补课题教学对夹角、距离公式理解、应用的不足。

B组：

5、若向量a =（1，λ，2），b=（2，－1，2），a

、b的夹角的余弦值为的值为 。

6、若A、B两点的坐标分别是A（2cosθ，2sinθ,1）B（3cos，3sin,1），则|AB|的取值范围是 。

7、已知平面的一个法向量a =（x，2y－1，－2），且b，c在内，则a = 。

8、在x Oz平面上，求垂直于a =（1，－1，2）并且模长为|a|的2倍的向量b= 。

9、已知△ABC的顶点A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则△ABC的面积为 ，BC边上的高AD的长为 。

10、已知△ABC的三个顶点为A（3，1，2）、B（4，－2，－2）、C（0，5，1），ADD1

C1

为∠A的平分线，则AD的长为 。

8，则λ911），b=（－1，2，1），c=（3，，42A1

M A D B1

N C B

11、如图，在正方形ABCD—A1B1C1D1中，

M、N分别是A1 A、B1 B的中点，求直

线CM与D1N所成的角的正弦值。

设计意图：选择教学中已涉及题目的原形作同等提高水平的变化，让学生进一步理解和应用所学

知识。

C组

12、在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=1CD，H为C1G的中点，应用空间向量方法解下列问题：

4（1）求证：EF⊥B1C；

（2）求EF与C1G所成的角的余弦值。

（3）求FH的长。

13、如图，两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC=90°，M、N分别是BD、AE上的点，且AN=DM。

（1）求证：MN∥平面EBC；

（2）求cos；

（3）求MN长度的最小值。

F N B A E C M D 设计意图：对教学中已涉及的问题作提高水平的变式，加强学生应用空间向量的有关知识解决立体几何问题的能力，从而拓宽学生解题的思维和空间。