3.1.1 空间向量及其加减运算教学目标设计

空间向量及其加减运算

潘庄中学

张婷婷

从这节课起，我们开始学习空间向量的知识和空间向量在立体几何当中的应用。向量是作为一个工具，可以处理线段的长度的问题、夹角问题以及位置关系的判定。那么在立体几何当中，空间向量角的处理，空间距离的求解以及空间位置的判断，借助空间向量来处理，大大简化了运算过程，所以空间向量是非常重要的一个解决立体几何问题的工具。

本节课我们要学习的是空间向量及其加减运算。

学习目标：1、经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

2、掌握空间向量的概念。

3、掌握空间向量的加减运算及其运算律。

教学重点：理解空间向量、掌握加减运算。

教学难点：向量的合理位移。

过程设计：

一、新课导入：复***面向量

1、

定义：既有大小又有方向的量叫做向量。

几何表示法：有向线段

字母表示法：用字母a,b等或者用有向线段的首尾字母AB

来表示。

相等向量：长度相等且方向相同的向量。

2、

平面向量的加减运算

向量的加法：平行四边形法则

三角形法则（首尾相连）向量的减法：三角形法则（共起点,连终点,方向指向被减数。）

一、

新授

（一）预习课本，完成问题。

1、空间向量有关的概念

定义：具有大小和方向的量叫做空间向量。

长度：向量的大小叫做向量长度或模。

表示法：几何表示法：有向线段

字母表示法：用字母a,b等或者用有向线段的首尾字母AB

来表示。

2、几类特殊的向量

特殊的向量

零向量

单位向量

相反向量

相等向量

定义

长度为0 长度为1 长度与a相等方向相反

与a方向相同模相等

表示法

0

e1

a

a

由相等向量可以得出结论：空间当中任意两个向量都是共面向量，他们可用同一平面内的两条有向线段表示。

提升总结：（1）空间的一个平移就是一个向量。

（2）向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（3）空间的两个向量可以用同一平面内的两条有向线段来表示。

3、空间向量的运算

（1）加减运算

由于空间的任意两个向量都能平移到一个平面，所以空间向量的加减运算和平面向量的加减运算相同。

加法：平行四边形法则和三角形法则（首尾相连）

减法：三角形法则（共起点，连终点，方向指向被减数）

（2）加法运算律

加法交换律：abba

加法结合律: (ab)ca(bc)

运算律的证明：

（3）对空间向量加减法的说明

a.空间向量运算就是平面向量运算的推广。

b.两个向量相加的平行四边形法则三角形法则在空间同样适用。

c.空间向量的加法可以推广到若干个向量相加。

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的量。即：A1A2A2A3...An1An=A1An

②首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。即：

A1A2A2A3...nAA10（二）例题精炼

例1、下列说法中正确的是（

）

A.

若ab，则a,b的长度相同，方向相同或相反

B.

若向量a是向量b的相反向量，则ab

C.

空间向量的减法满足结合律

D.

在四边形ABCD中，一定有ABADAC

答案：B 解析：ab，只说明长度相等，但方向不确定。对于a的相反向量b，b=-a，故ab，B正确。加法具有结合律，减法不具备。只在平行四边形中满足ABADAC。

类题通法：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键. 例2、已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量. (1)

ABBC解：ABBCAC

(2) ABADAA

ABADAA'AC'

课堂训练

1、给出以下命题: （1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同. （2）若空间向量a，b满足|a||b|，则ab. （3）在正方体ABCDA1BC11D1中，必有ACAC11 . （4）若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp. （5）空间中任意两个单位向量必相等. 其中不正确命题的个数是 （ C ）

A.1 B.2 C.3 D.4 2、已知在正方体ABCDA1BC11D1中，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量。

(1)ABBCC1C

(2)ABDAA1A

解：ABBCC1CACCC1AC1

ABDAA1A=ABADAA1=ACAA1=AC1

三、课堂总结

1、空间向量概念：在空间，具有大小和方向的量. 2、几类特殊的向量

3、空间向量的加减法极其加法运算律

空间向量的加减运算应用，三角形法则和平行四边形法则. 加法符合加法交换律和加法结合律。

4、平面向量与空间向量.空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们. 四、作业

1、练习册P45随堂即时演练1-5题

2、练习册P84课时跟踪检测（十四）

五、板书

六、教学反思