1.2.1 充要条件第二课时教案

1.2.2 充要条件

主讲：广东高州中学

刘均锋

【教学目标】

1.知识与技能目标：

（１）

正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．

（２）

正确判断充分不必要条件、

必要不充分条件、充要条件、

既不充分也不必要条件. （３）

通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．

2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

3. 情感、态度与价值观：

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

【教法指导】

重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题

难点：正确区分充要条件．

【教学过程】

一、前置作业，自主学习

已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数. 请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．

易知：pq，故p是q的充分条件；

又q  p，故p是q的必要条件．

此时,我们说, p是q的充分必要条件

二、合作探究，展示交流

一般地,如果既有pq ，又有qp 就记作 p  q. 此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件. 显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.[来源:学*科*网Z*X*X*K]

概括地说,如果p  q,那么p 与 q互为充要条件.

一般地，

若p  q ,但qp，则称p是q的充分但不必要条件；

若pq，但qp，则称p是q的必要但不充分条件；

若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．

在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：

①若pq ,但q 

p，则p是q的充分但不必要条件；

②若qp，但p 

q，则p是q的必要但不充分条件；

③若pq，且qp，则p是q的充要条件；源:学科网ZXXK]

④若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．

三、范例启迪，深化提高

题型一

充要条件的判断

例1 (1)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(

) A.充要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件[来源:学*科*网Z*X*X*K]

解析

解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件. (2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？

①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sin A>sin B；

②若a ，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；

③p：|x|>3， q ：x2>9.

题型二

充要条件的证明

例2 求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2. 证明

必要性：[来源:Zxxk.Com]

若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则

22Δ＝2k－1－4k≥0，x1－1＋x2－1>0，x1－1x2－1>0，1k≤4，2

3⇒x＋x－2>0，xx－x＋x＋1>0.1212121k≤4，

即－2k－1－2>0，k＋2k－1＋1>0，

解得k<－2. 反之，充分性成立

题型三

利用充要条件求参数范围

例3

已知p：|1－x1|≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0), 若┐p是┐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.

命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.

知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了. 错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难. 技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决. 解：由题意知：

命题：若┐p是┐q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件. p:|1－x1|≤2－2≤x1－1≤2

33－1≤x1≤3－2≤x≤10 3q:x2－2x+1－m2≤0［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0

* ∵p是q的充分不必要条件，

∴不等式|1－x1|≤2的解集是x2－2x+1－m2≤0(m>0 3解集的子集. 又∵m>0

∴不等式*的解集为1－m≤x≤1+m

∴1m2m1，∴m≥9，

1m10m9∴实数m的取值范围是［9，+∞).

四、限时训练，巩固新知

1.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(

) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，

则“a＝3”是“A⊆B”的(

) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知α：“a＝±2”；β：“直线x－y＝0 与圆x2＋(y－a)2＝2相切”，则α是β的(

) A.

充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知直线l1：x＋ay＋6＝0和直线l2：

(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件

是a＝________. 5.

命题p：x>0，y<0，命题q：x>y，错误！未找到引用源。>错误！未找到引用源。，

则p是q的________条件.

1解析

当a＋b＝0时，得a＝－b，所以a∥b，但若a∥b，不一定有a＋b＝0. 2解析

a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B，当A⊆B时，a＝2或3. 3解析

a＝±2时，直线x－y＝0与圆x2＋(y±2)2＝2相切；当直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切时，得错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。，∴a＝±2.∴α是β的充要条件. 4解析

由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，

而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1. 5.充要

五、归纳小结，构建网络

充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系. 1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法. 2.充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.

(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件. 六、课后作业，拓展延伸

1.必做题：P1４：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题

2.选做题：B组第2,3题[来源:学科网]

3、探究题：已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件. 参考答案

3、证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4. 设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线. 又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0. 即有42ab042ab04+b>2a>－(4+b) 又|b|＜44+b>02|a|＜4+b

(2)必要性：

由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线. ∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根. ∵α，β是方程f(x)=0的实根，

∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.