3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示优秀教学设计

空间向量的正交分解及其坐标表示

教学目标：

1.理解点到平面的距离的概念,会用向量法求点到平面的距离. 2.了解直线到平面的距离,平面到平面的距离的概念,并会用向量法将这两种距离转化为点到平面的距离计算.

在平面内,已知点A是直线l外一点,点B是直线l上任一点,n是一个与直线l的方向向量垂直的向量, 在向量n上的投影的绝对值是什么?在空间里,点A是平面α外一点,点B是平面α内任一点,n是则向量 在向量n上的投影的绝对值又是什么?

平面α的法向量,则向量

教学过程：

一、导课：

在向量n上的投影的绝对值等于点A到直线l的

距离

;在空问题1:在上述情境中,在平面内,向量 在向量n上的投影的绝对值等于点A到平面α的

距离

.

间中,向量 问题2:立体几何中距离的分类

(1)点到平面的距离:平面外一点P到它在一个平面α内的

正射影

A点的距离,即PA⊥α,A∈α,垂线段

PA

的长度即为点P到平面α的距离.

(2)直线到平面的距离:一条直线上的

任一点

到

与它平行的

平面的距离,叫作这条直线到平面的距离.

(3)平面到平面的距离:两个平行平面,其中一个平面上的任意一点到另一个平面所截的距离,叫作两个平行平面的距离.平面与平面的距离只存在于两个平面平行之间. 问题3:用向量法求空间距离的公式

(1)两点间的距离(即线段的长度):

若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则

dAB=

-

-

-

.

(2)点到平面的距离:

如图所示,已知点B(x0,y0,z0),平面α内一点A(x1,y1,z1),平面α的一个法向量为n,直线AB与平面α所成 >,则sin φ=|cos|=|cos θ|.由数量积的定义知,n· =|n|| |cos θ,所以点的角为φ,θ=

.

B到平面α的距离d=| 问题4:直线到平面的距离、两平行平面的距离

(1)若直线a∥平面α,则直线a到平面α的距离等于直线a上的任意一点到平面α的距离,再利用向量法求点到平面的距离. (2)若平面α∥平面β,则平面α到平面β的距离等于平面α上的任意一点到平面β的距离,再利用向量法求点到平面的距离.

二、思维探究与创新

二、向量法求空间两点的距离

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AD=2,E,F,G分别为AB,BC,PD的中点,直线PF与平面AEG交于点H,求PH的值.

向量法求点到平面的距离

如图,已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AD、AB的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2,求点B到平面EFG的距离.

向量法求线面距离

如图,边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为BB1、C1C的中点,DG=DD1,过E、F、G的平面交AA1于点H,求A1D1到平面EFGH的距离.

三、技能应用与拓展

如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上.点P到直线CC1的距离的最小值为

.

思维导图：

参考答案

知识体系梳理

问题1:距离

距离

问题2:(1)正射影

PA

(2)任一点

与它平行的

问题3:(1)

-

-

-

(2)|

| 重点难点探究

探究一:【解析】如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,0,0),F(2,1,0),G(0,1,1).

设H(x,y,z),则 =(x,y,z-2), =(2,1,-2). , 是共线向量,∴设 =λ ,

∵

则有(x,y,z-2)=λ(2,1,-2),解得x=2λ,y=λ,z=2-2λ,

∴ =(2λ,λ,2-2λ).

, ,

是共面向量,

又∵

+v

=(u,v,v),

设 =u

消去u,v,得λ=

,

∴

∴H的坐标为(,,). ∴ =(,,-),

| |=

=2. 故PH的值为2. 【小结】借助空间向量求两点间的距离(线段长),可转化为求相应的向量的模,结合平行、垂直关系或夹角等已知条件只需求出对应向量的坐标即可.

探究二:【解析】以点C为坐标原点,分别以CD、CB、CG所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则G(0,0,2),B(0,4,0),A(4,4,0),D(4,0,0),E(4,2,0),F(2,4,0),

=(4,2,-2), 故

=(2,4,-2). 设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,

-

则有

⇒

-

令x=1,得y=1,z=3,∴n=(1,1,3).

=(0,4,-2),

又∵ ∴点B到平面FEG的距离d=

=. 【小结】用向量法求点到平面的距离的一般步骤: (1)求出该平面的一个法向量; (2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; (3)求出法向量与斜线段的数量积的绝对值再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离.

探究三:【解析】如图,以点D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则E(1,1,),F(0,1,),G(0,0,),D1(0,0,1),

∴ =(-1,0,0), =(0,-1,-).

设平面EFGH的法向量为n=(x,y,z),

-

则

即

令z=6,可得n=(0,-1,6). 又

=(0,1,-),

∴D1到平面EFGH的距离d=

=.

∴A1D1到平面EFGH的距离为

. 【小结】线面距离可转化为直线上任意一点到平面的距离来求解,求解时通常先找已知(或较易求解)的过直线上一点的平面的斜线段连成的向量(如本题的

),再求该向量在平面的法向量上的投影的长度(如本题的

),即为线面距离. 全新视角拓展

【解析】如图,连接DE,过点P作PF⊥DE,垂足为F,连接FC.

过点P作PG∥FC,交CC1于点G,易知四边形PFCG为矩形. ∴PG⊥CC1,PG=CF. ∴要求PG的最小值即求CF的最小值,当CF⊥DE时,CF最小,在Rt△CDE中,CD=2,CE=1,DE=

. 由

·CF=2×1,得CF=【答案】

.

思维导图构建

线段

三棱锥的高

-

-

-

线段

向量

数量积

法向量

斜