1.1.2 充分条件和必要条件优质课教案内容

高二数学选修2—1教学案一体化教案

第二课时

充分条件和必要条件

教学目标：

理解推断符号“”的含义，理解并掌握充分条件的意义及应用，理解并掌握必要条件的意义及应用，理解并掌握充要条件的概念，掌握判断命题的条件的充要性的方法，培养学生的逻辑推理能力，培养学生简单的逻辑推理的思维能力，使学生充分认识对逻辑知识，特别是充要条件的判断及推理在日常生活、学习和工作中是认识问题及分析问题不可缺少的工具. 教学重点：

充分条件，必要条件的判断，理解充要条件的意义及命题条件的充要性判断. 教学难点：

理解并掌握充分条件，必要条件，充要性的判断方法. 教学过程：

Ⅰ.复习回顾

前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假. （1）若a＞b，则ac＞bc. （2）若a＞b，则a＋c＞b＋c. （3）若x≥0，则x2≥0. （4）若两三角形全等，则两三角形的面积相等. 命题(1)为假，命题(2)、(3)、(4)为真. 本节将在判断“若p则q”命题的真假的基础上，研究p是q成立的充分条件或必要条件的问题.(引出课题) Ⅱ.讲授新课

例如命题(2)、(3)、(4)为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“pq”，或者“qp”，又如命题(1)为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“pq.”

请一同学用推断符号“”或“”写出上述命题.

(1)a＞bac＞bc；(2)a＞ba＋c＞b＋c；(3)x≥0x2≥0；（4）两三角形全等两三角形面积相等. 一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件；

如果既有pq，又有qp，就记作：“pq”，“”叫做等价符号，“pq”表示“pq且qp”.这时p既是p的充分条件,又是q的必要条件,则p是q的充分必要条件，简称充要条件. 上述定义中，“pq”，即如果具备了条件p，就是以保证q成立，所以p是q的充分条件.这点容易理解，但同时说q是p的必要条件是为什么?请同学们讨论. 应注意条件和结论是相对而言的，由于“pq”的等价命题是“qp”，即若q不成立，则p就不成立，故q是p成立的必要条件了.但必须注意，q成立时，p可能成立，也可能不成立，即q成立不保证p一定成立. 如果已知pq且qp，那么就说：p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件。

回答上述命题(2)、(3)、(4)中的条件关系. 命题(2)中

“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件. 命题(3)中，因“x≥0x2≥0”，所以“x≥0”是x2≥0的充分条件，“x2≥0”是“x≥0”的必要条件. 命题(4)相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件. 例1：指出下列各组命题中，p是q的什么条件；q是p的什么条件? (1)p：x＝y；q：x2＝y2. (2)p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等. (3)p：x＝1或x＝2；q：x2－3x＋2＝0. 命题(1)因x＝yx2＝y2即pq，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件. - 1 -

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命题(2)pq三角形的三条边也相等”，即qp.所以p是q的充分条件，p也是q的必要条件；q是p的必要条件，也是p的充分条件，即充要条件. 命题(3)中因“x＝1或x＝2x2－3x＋2＝0”.即pq.则p是q的充分条件，q是p的必要条件. 又因“x2－3x＋2＝0x＝1或x＝2”即qp，所以q也是p的充分条件，p也是q的必要条件，即充要条件. 由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程.可确定：命题按条件和结论的充分性、必要性可分为几类? 可分为四类：p是q的(1)充分不必要条件，即pq，而q

p.(2)必要不充分条件，即：p

q，而qp.(3)充要条件，即pq，又有qp.(4)既不充分又不必要条件，即p

q，又有q

p. 例2：下列命题的条件是结论成立的什么条件? (1)若a是无理数，则a＋5是无理数. (2)若a＞b，则a＋c＞b＋c. (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根，则判别式Δ＞0. 命题(1)中因：a是无理数a＋5是无理数，所以“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分条件；又因“a＋5是无整数a是无理数”则“a是无理数”又是“a＋5是无理数”的必要条件，因此，“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分必要条件. 命题(2)中因“a＞ba＋c＞b＋c”，又有“a＋c＞b＋ca＞b”，则“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件. 命题(3)中因：“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根Δ＞0”，又有“Δ＞0

“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根.”

则“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”是“判断式Δ＞0”的充要条件. 例3：指出下列各组命题中，p是q的什么条件.(在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种)? (1)p：（x－2）（x－3）＝0，q：x－2＝0 (2)p：同位角相等，q：两直线平行. (3)p：x＝3，q：x2＝9. (4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形. (5)p：x2x＋3 ＝x2；q：2x＋3＝x2. 命题(1)中因“(x－2)（x－3）＝0x＝2或x＝3x－2＝0”；

而“x－2＝0（x－2）（x－3）＝0”，所以p是q的必要而不充分条件. 命题(2)中因“同位角相等两直线平行”，所以p是q的充要条件. 命题(3)中因“x＝3x2＝9”，而“x2＝9”

x＝3”，所以p是q的充分而不必要条件. 命题(4)中因“四边形的对角线相等

四边形是平行四边形，又因“四边形是平行四边形

对角线相等.”所以p是q的既不充分又不必要条件. 四边形的命题(5)中因：p：x2x＋3 ＝x2x（2x＋3 －x）＝0，解得x＝0或x＝3；q：2x＋3＝x2得x＝－1或x＝3.则有p

q且qp.所以p是q的既不充分也不必要条件. 由命题(5)可知：对复杂命题条件的判断，应先等价变形后，再进行推理判定. 例4：设集合M＝{x｜x＞2}，P＝{x｜x＜3}，则“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的什么条件? 解：由“x∈M或x∈P”可得“x∈P”，又由“x∈M∩P”可得：x∈{x｜2＜x＜3}.则由x∈P，即x∈{x｜x＜3} x∈{x｜2＜x＜3}.但由“x∈{x｜2＜x＜3}x∈{x｜x＜3}，即x∈P.故“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要而不充分条件. Ⅲ.课堂练习

课本P8

1、2、3 Ⅳ.课时小结

本节课主要研究了三点内容：

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推断符号、

充分条件的意义

命题充分性、必要性的判断. 必要条件的意义

“充要条件”的判定方法

Ⅴ.课后作业

课本P8习题

1，2，3 预习内容：

逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，复合命题的构成，判断复合命题真假的方法.

参考例题

［例1］(1)xy＞0的一个充分而不必要条件是____

___. (2)x＜0的一个必要而不充分条件是_______. 分析：对于(1)要找命题q：xy＞0的一个充分而不必要条件就是要找一个命题p满足：pq且q

p，这样的命题p易找到的，且不惟一；对于(2)可仿(1)解决. 解：(1)xy＞0的一个充分而不必要条件是：x＞0且y＞0. (2)x＜0的一个必要不充分条件是x＜2. 评述：由于其答案不惟一，本例实际上是一个开放性命题. ［例2］已知：p：a＞2且b＞2，q：a＋b＞4且ab＞4.则p是q的

条件

解析：由a＞2且b＞2可得a＋b＞4且ab＞4.则p是q的充分条件.反之，若取a＝2，且b＝3.则有a＋b＝5＞4，且ab＝6＞4，但a＝2不满足p.即：

q

p；故p是q的充分不必要条件. 评述：这个问题具有典型性，学生由于形式上受：a＞0且b＞0a＋b＞0且ab＞0的影响，往往出现错误：a＞2且b＞2a＋b＞4且ab＞4. ［例3］若已知A是B的充分条件，C是D的必要条件，而B是D的充要条件，则D是C的_______条件；D是A的_______条件；A是C的_______条件，D是B的_______条件. 分析：运用充分条件，必要条件和充要条件的定义考虑本题条件.易知存在下面的关系：ABDC，然后再回到定义，本题可解. 解：D是C的充分条件，D是A的必要条件，A是C的充分条件，D是B的充要条件. 评述：如果pq，则p是q的充分条件.同时q是p的必要条件，说明充分条件和必要条件是相对的. ［例4］已知p：｜5x－2｜＞3，q：1＞0.则p是q的什么条件? 2x4x5分析：先确定命题p和q，然后再作判断；或者先直接判断p和q的关系，然后再判断p和q的关系. 解：p：｜5x－2｜≤3，即：－1≤x≤1 5q：－5≤x≤1，则pq；

而q

p.则p是q的充分而不必要条件. 评述：要注意准确把握一个命题的否定.特别是不等式所表示的区域的否定，在命题的条件的确定中常- 3 -

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用. ［例5］设x，y∈R，求证：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜的充要条件是xy≥0. 分析：充分性即证：xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜必要性即证：

｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜xy≥0. 证明：①充分性. 若xy＝0，则有x＝0或y＝0或x＝0且y＝0. 此时显然｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜. 若xy＞0，则x，y同号. 当x＞0且y＞0时，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜. 当x＜0且y＜0时，｜x＋y｜＝－x－y＝（－x）＋（－y）＝｜x｜＋｜y｜

综上所述，xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜. ②必要性

∵｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，且x，y∈R

∴(x＋y)2＝（｜x｜＋｜y｜）2

即x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜x｜｜y｜·y2 xy＝｜xy｜xy≥0. 因此｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜xy≥0. 故xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜. 评述：证明“p的充要条件是q”时，即等价于“q是p的充要条件”. 也就是需证明充分性：qp；必要性pq不能颠倒证反”. 注：本题也可用绝对值的概念证明：

｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜

｜x＋y｜2＝（｜x｜＋｜y｜）2

x2＋2xy＋y2

＝x2＋2｜xy｜＋y2

｜xy｜＝xy

xy≥0. 故xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜

参考练习题

1.如果甲是乙的必要而不充分条件，丙是乙的既充分又必要条件，那么丙是甲的

条件

解析：由题设乙甲，丙乙，则丙乙甲，即有丙甲.

答案：充分不必要条件

2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和负根的充要条件是

ac＜0

3.设a是B的充分不必要条件，则A是B的_____________条件. 解析：由A是B的充分不必要条件得：AB，即BA，则A是B的必要不充分条件.

答案：必要不充分

4.x2＞y2是x＞y的_______条件.

答案：既不充分也不必要

5.设A、B是非空集合，则A∩B＝A是A＝B的_______条件.

答案：必要不充分

6.已知p：x（2x＋3）＝x3，q：2x＋3＝x2，试判断p是q的什么条件，并说明理由. 解：∵p：x＝－1或x＝0或x＝3；

q：x＝－1或x＝3. ∴p

q而qp. 则p是q的必要而不充分条件. 7.设集合a＝{a｜a2＋a－6＝0}，b＝{b｜mb＋1＝0}，试写出BA的一个充分不必要条件. - 4 -

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11答案：m＝－

（或m＝

）

238.A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D也是B的充分条件. 则D是C的什么条件?A是B的什么条件? 解：由题设得AC，BCDB，则CD，CB. 则D是C的充要条件. A是B的充分不必要条件.

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