2.2.2 椭圆的几何性质优质课教学设计

椭圆的简单几何性质

学习目标：

1.掌握椭圆的简单的几何性质。

2.会用几何方法归纳曲线的几何性质并会运用方程研究曲线几何性质。

3.能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题。

一、复习引入

已知点P到两个定点F1(- 3,0),F2(3,0)的距离之和等于10，求点P的轨迹方程.

问题1：你能画出上面所求方程的大致图形吗？

问题2：此椭圆与坐标轴有 个交点，交点的坐标为 。 问题3：此椭圆上点P的坐标的范围是 。

二、新课探究

探究1：范围的探究

x2y221ab0的大致图像吗？

你能画出 2ab

提出问题1：观察图像你能给出椭圆上的点的横坐标和纵坐标的范围吗？

提出问题2：同学们能否借助标准方程用代数方法推导椭圆中x,y的范围？请写出推导过程：

完成巩固练习题1 讨论下面椭圆的范围4x29y236

探究2：对称性的探究 提出问题：类比探究椭圆范围的过程，利用同样的方法自己探究一下椭圆的对称性吗?（学生合作讨论探究）

观察椭圆的图形：容易发现椭圆具有对称性，椭圆既于

对称，又关于

对称

。

从方程上看（代数法）： （1）以-x代x方程不变，说明椭圆关于

对称； （2）以-y代y方程不变，说明椭圆关于

对称； （3）以-x代x，同时以-y代y方程不变，说明椭圆关于

对称. 生成结论：坐标轴是椭圆的对称轴，

原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

巩固练习题2：在下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴都对称的是( ) A.x2＝y B.x2＋2xy＋y＝0 C.x2－4y2＝5x

D.9x2＋y2＝4

探究3：椭圆的顶点 问题：椭圆与对称轴有几个交点呢？你能根据方程求出这些交点坐标吗？

这四个点是对称轴与椭圆的交点，称为 。

需要说明是：线段A1A2,

B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 巩固练习题3： 口答下列椭圆的顶点坐标及长轴和短轴长。x2y2194

探究4：椭圆的离心率 ce

焦距与长轴长的比a叫做椭圆的离心率。

⑴问题：比较如下三个椭圆的形状以及c／a的值,大家能总结出怎样的规律？

ccca0.85a0.65a0.15

学生大胆猜想：c／a越大，椭圆越 ，c／a越小，椭圆越 。

（1）师生共同证明猜想。

（2）利用几何画板制作的动画验证学生的猜想。

总结：从刚刚的动画我们可以看出，当c／a接近于0时,椭圆越接近于圆；当c／a越接近于1时，椭圆越扁.也就是说,随着c／a的增大，椭圆越来越扁。

合作探究：b／a或c／b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？

三、归纳总结，能力迁移 问题1：根据我们前面的学习，你能总结一下椭圆的性质吗？

问题2：请大家思考一下焦点在

轴上的椭圆又具有那些性质呢？

四、学以致用，巩固提高 例1：求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。

2变式训练：

yx21则

已知椭圆方程为 6

它的长轴长是： ;短轴长是： ;

焦距是： ;离心率等于： ; 焦点坐标是： ;顶点坐标是： ; 外切矩形的面积等于： 。

例2：已知椭圆的长轴长是20，离心率是3/5，求该椭圆的标准方程。

五、当堂检测

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）过点P（5，0）、Q（0，4）；

（2）焦点在y轴上，长轴长是6，离心率是2/3；

（3）在x轴上的一个焦点，与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6。