习题2.1优质课教案整理

教学设计

单位:阜阳市第三中学

姓名:陈新荥

所用教材版本:北师大版 学科:高中数学

年级:高二

1

椭圆及其标准方程

一、

教学内容分析

《椭圆及其标准方程》是苏教版教科书（选修）数学1-1第2章《圆锥曲线与方程》第二节内容。本节在教材中的地位和作用：椭圆及其标准方程在本章节是非常重要的部分，起着总领全章的作用。而圆锥曲线是高考的重点，也是教学的重点。而且本章节的内容和生活实践的联系也比较紧密，是培养学生把数学知识应用到实际生活的能力的重要章节。本章节的教学还有利于培养学生的数形结合的能力。因为椭圆，双曲线以及抛物线有相类似的性质，教学中只要真正的把椭圆的性质讲透了，那其它两部分的教学也就事半功倍了。

二、学生学习情况分析

我们班是一个普通C班,班上的大部分学生学习的自主性不好，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。所以教师在讲解得时候应该尽量地要带动起学生，激起他们对数学学习的兴趣和热爱。教师应该特别注意提问的方式,要结合学生们所掌握的知识水平的程度,来有针对性地提问。

三、设计思想

为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才以及根据我校提出的“创设情景、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，在课堂设计上，教师应学会如何创设情景，激发学生学习的兴趣；围绕教材的重难点，比如本节的“椭圆的标准方程及其推导”，教师应学会如何设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。

四、教学目标

1.知识目标

①建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程；

②能根据已知条件求椭圆的标准方程，和焦点坐标；

③进一步掌握求曲线方程的一般方法，体会数形结合的数学思想。

2.能力目标

①让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力; ②培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力; 2

③提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

3.情感目标

①亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶; ②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨; ③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

五、教学重点和难点

教学重点: 椭圆的定义及其标准方程的推导。通过学生自主建立直角坐标系和对方程的讨论选择突出重点。

教学难点：椭圆的标准方程的推导过程。

六、教学过程设计

教学流程：问题情境→建构数学→例题解析→课堂小结→作业布置

1问题情境：

情境

生活中存在着大量的椭圆，比如：餐桌的外轮廓线，汽车的贮油罐的横截面的外轮廓线等等。（教师用幻灯片投影给学生看）

问题1同学们还能举出些椭圆的例子吗？

问题2怎样才能设计出椭圆的形状呢？

【设计意图】问题情境的创设应有利于激发学生的求知欲。为了复习椭圆的定义，我设计了上面的情境和问题1，让学生感受到椭圆的存在非常普遍。小到日常生活用品，大到建筑物的外形，天体的运行轨道。通过问题2让学生主动思考如何画椭圆及椭圆的定义。 提问：椭圆的定义用语言是怎样阐述的？

学生1：平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

教师：好，这位同学回答得非常正确。那么下面请再思考一个问题：前面我们讲过圆的标准方程，请同学们回顾一下求圆的标准方程的基本步骤有哪些？

2建构数学

学生2：建立直角坐标系、设点、寻找等量关系、代入坐标、化简。

3

【设计意图】在学生复习圆的方程的建立过程的基础上，让学生讨论思考如何选择适当的坐标系来建立椭圆的方程，我想学生通过这些活动能够建立几种常见的坐标系，并列出相应的代数方程。我认为这样有利于培养学生的动手实验，分析比较，相互协作等能力。让学生体验到知识的产生过程。

教师：很好。那么在求曲线方程的第一步，也就是建立直角坐标系时，我们应该注意些什么问题呢？

学生3：要充分利用图形的对称性，以及一些关键点的坐标，建立坐标系要遵守简单和谐化的原则。

教师：好，说得很精彩。那么就请同学们互相讨论一下，看看到底应该怎样建立直角坐标系，才能使我们这道题目化简地更加容易呢？

学生：讨论。

学生：大多数同学一致认同这种建系的方法：以过点F1、F2的直线为x 轴，以线段F1F2的垂直平分线为y 轴。因为这样作出的图形是一个对称的图形，非常完美。

教师：现在请同学们动手求出椭圆的标准方程。（教师巡视）

发现得到这样一个式子后，xc2y2xc2y22a，大部分学生就不会往下做了。还有极少数同学知道通过两边同时平方去根号，但是化简了一步，就无法再进行下去了，过程太复杂了。

【设计意图】

我选择放手让学生化简，让学生体验化简方程的艰辛，同时注意化简的技巧，注意考虑问题要有多种视角，不要一条胡同走到黑。

教师：提示，显然两边直接平的效果并不好，那是否有更好的方法呢？

学生：可以尝试将根式中的一项移项后，再平方。

教师：好，请同学们继续化简。

设M(x,y)为椭圆上的任意一点，设MF1+MF2=2a，F1F2=2c，y （m >n>0）

则F0、F2c，0．

1-c，由MF1+MF2=2a得

移项得

平M xc2y2xc22y22a

移项后

再平方

得

F1 O F2 x xc2y22a方xcy2

图1 xc2y24a24axc2y2xcy

222整理得

4cx4a24axcy2

4

再平方得a2x22cxc2y2a42a2xcx2c2

再整理得a2-c2x2a2y2a2a2c2

教师：我们知道这里ac，再注意观察一下x2,y2的系数之间有什么关系？

学生：它们的乘积刚好等于右边的常数。

教师：同学们的观察还是非常仔细的。好，既然ac，那我们不妨令b2a2c2

x2y2如果我们再将不等式的两边同时除以ab，得221(ab0)

ab22这就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程

请同学思考：这里a,b的大小关系如何？再考虑一下它们的大小与焦点所在的位置有什么关系？

学生：显然，ab，且焦点在轴x上。所以应该是哪个分母大，焦点就在哪个轴上

【设计意图】让学生自己观察，分析，得出结论，这样不仅能够使他们树立起对自己的信心，更重要的是在潜移默化中，使他们解决数学问题的能力得到了提高。

教师：请问，焦点在y轴上的椭圆的标准方程的形式应该是怎样的呢？

y2x2学生：221(ab0)

ab教师：非常棒。

下面我们来对比一下椭圆的两种标准方程，看看有什么相同点和不同点：

（1）相同点

①方程中x，y表示椭圆上任意一点的坐标；

②关于x，y的二元二次方程；

③方程右边是常数1，左边是平方和的形式；

④a是椭圆上的点到两焦点距离和的一半，b2＝a2-c2，c是焦距的一半；

a2＝b2+c2，a>b>0, a>c>0,b与c大小不定

⑤焦点位置的判定：焦点在较大分母对应的变量的坐标轴上

（2）不同点

5

标准方程

x2y221ab02ab

y2x221互换x，y 2ab0

b

a

B2

M

y

F2

A2

x A1

y F1

O F2

A2

M B2

x 图

形

A

1

F1

O B1

B1

焦点坐标

与坐标轴交点

F1(-c,0），F2(c,0）

A1（-a，0）

A2（a，0）

B1（0，-b）

B2（0，b）

F1(0,c），F2(0,-c）

A1（0，a）

A2（0，-a）

B1（-b，0）

B2（b，0）

【设计意图】让学生通过数形结合的这种方式来熟练地掌握椭圆的有关性质。特别要强调学生注意观察，会区分上面的两个图形的相同点和不同点。

3例题解析

例1 已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4米，外轮廓线上的一点到两个焦点距离的和为3米，求这个椭圆的标准方程。

【设计意图】设计此题的目的是为了巩固椭圆的标准方程中的量的关系和用对称法建立直角坐标系。

学生：以两焦点F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为

x2y21(ab0)

a2b2y P 根据题意得，2a=3,2c=2.4,即a=1.5,c=1.2 b2a2c21.521.220.81

F1 O F2 x x2y21

因此这个椭圆的标准方程为2.250.816 图1

例2将圆x2y24上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线。

【设计意图】设计的目的有两个：

(1)

对求动点的轨迹的方法进行再巩固；

(2)

让学生把椭圆的方程与圆的方程来类比，巩固椭圆的标准方程

教师：点拨：设点，然后寻找未知点与已知点之间的关系，列出等式，再化简。

学生：设所得曲线上任何一点M的坐标为(x,y)，圆x2y24上的对应点的

'xx坐标P(x,y)，由题意可知'

y2y''x2y21

因为xy4，所以x4y4，即4'2'222教师：能不能用自己的语言来总结一下，求解这类题目的一般方法？

学生：⑴设出已知点和未知点的坐标；

⑵找出它们坐标之间的等量关系，并且用未知量的代数式表示已知量；

⑶利用已知点所满足的关系，解出未知点所满足的关系。

4 课堂小结

（让学生自己总结这节课所学的内容）

1.推导椭圆的标准方程

2. 椭圆两种标准方程的比较

3椭圆的标准方程的基本求法及应用

【设计意图】为了让学生建构自己的知识体系，我让学生自己概括所学的内容。我认为这样既能培养了学生的概括能力，又能营造民主和谐的师生关系。

5 作业布置

1基础训练题:课本第28页1,2,3 2课后思考题:

有关资料显示：“神舟六号”飞船的运行轨道是以地球的中心F2位一个焦点的椭圆。已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面200公里，远地点B (离地面最远的点) 距地面347公里，并且在F2、A、B同一直线上，地球半径约为6371km。你能计算出“神舟六号”飞船的轨道方程吗? (精确到0.01 km)

【设计意图】

为了进一步巩固椭圆的标准方程，让学生能够灵活利用椭圆的性质来求解其方程,于是我布置了上面的作业.

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七、评价设计

1、在“椭圆的标准方程”的引入与推导中，充分利用教具演示，并运用“实验——猜想——推导——应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理。我认为这样安排符合学生的认识规律，揭示了知识的发生、发展过程；也符合现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点。

2、在教学的过程中始终本着“教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者”的原则，让学生通过实验、观察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等过程建构新知识，并初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的浓厚兴趣。

3、在创设情境、推导椭圆的标准方程的过程中，培养学生的实验、归纳能力，在辨析几种建系方法所得到方程的繁简，比较两个标准方程的特点过程中培养学生的分析、判别能力，在运用标准方程中，培养学生解决实际问题的能力；另外，通过学法指导，引导学生思维向更深更广发展，以培养学生良好的思维品质，并为以后进一步学习双曲线和抛物线作好辅垫。

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