3.4 生活中的优化问题举例教案设计范例

广州市第76中学

梁宝英

生活中的优化问题举例

教学目标：

知识与技能：利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。

过程与方法：通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。

情感态度与价值观：逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯

教学重难点：

重点：将实际问题转化成函数问题，利用导数来解决优化问题

难点：将实际问题转化成函数问题

教学基本流程：

复习解决优化问题的一般步骤：

问题情景一：如何组团使收费最多？例1 根据例题解题步骤总结用导数解决优化问题的方法

学生模仿例1完成课堂练习

师生共同探讨解决例2 课堂小结和课堂练习

教学过程：

问

题

复习：

1、怎样用导数来判断函数的单调性

2、解决优化问题的一般步骤：

3、利润怎么算？

设计意图

复习引入，帮助学生学习本节课知识。

明确利润问题中的几个关系

创设问题情景

师生活动

如果在区间a,b内f'x0，则函数在a,b内

如果在区间a,b内f'x0，则函数在a,b内

如果函数fx在a,c内连续可导，且在区间a,b内f'x0，在区间b,c内f'x0，则b为函数的极

值点。

收入= 利润= 师生共同研究在已知组团规则的情况下，对导游而言，如何组团使旅行社收费最多？

问题情景一：如何组团使收费最多？

1

广州市第76中学

梁宝英

例1：某旅行社准备在暑假期间推出如下旅游团组团方法：达到100人的团体，每人收费1000元，如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人。如果你为导游如何组团，可使旅行社的收费最多？

师生共同探讨

引导学生把实际问题用函数来刻画，然后利用函数知识来解决，从而解决实际问题。

本题中组团人数的多少决定着旅行社收费多少，从而将收费转化成关于x的函数，yfx(100x)(10005x)5x500x100000,(0x80,xN)用导数来求二次函数的最值。

关键理清

收入=单价*总数

2利通过上面的例子总结用导数解决生活中的优化问题的方法

课堂练习：

某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为１８０元时，房间会全部住满；房间的单价每增加１０元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费２０元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？

培养学生归纳总结能力

(1)把实际问题转化成用函数表示的数学问题(2)用导数解决数学问题(3)优化问题的答案。

让学生模仿前面例子的解答过程，根据具体步骤亲自尝试求解这个实际问题。

学生亲自解决这个实际问题，教师巡查，对学生的结果给予评价和解决学生解答中存在的一些问题。假设不同，可以有不同的表达式。

注意：利润=总收入—总成本=（单价-成本）*总数

例2：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。

瓶子的创设问题情景师生共同探讨，怎样把实际问题转化2制造成本是0.8r

成用函数表示的分，其中

r 是瓶子的半径，数学问题。

单位是厘米。已知每出售1 ml 的饮料，制造商可获利

0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为

6cm 问题：瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

课后思考：例2中瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最小？

本题中将利润表示成关于球的半径r是关键。

注意饮料瓶是球形的。

课堂小结

教师引导学生从上面的例子和练习中总结用导数来解决生活中的优化问题的方法

作业：课本

习题A组第1、2题

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