小结课堂实录【3】

一、课题：《常用逻辑用语》复习

二、教学目标：

1.了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系; 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义; 3．了解逻辑联结词‘‘或’’‘‘且’’‘‘非’’的含义; 4．理解全称量词与存在量词的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 三、教学重点：

充要条件的判断、四种命题的关系及等价性，命题真假的判断．

四、教学难点：

对一些命题真假的判断. 五、教学方法：

讲练结合法

六、教学过程：

（一）知识结构

命题及其关系

四种命题

常用逻辑用语充分条件与必要条件

或

简单的逻辑联结词

且

非并集

交集

补集

全称量词

存在量词

含有一个量词的否定

全称命题

特称命题

运算

（二）、【知识梳理】

1．命题

（1）命题的定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的

叫做命题。其中判断为真的语句叫做

，判断为假的语句叫做

. （2）命题的结构：在数学中，具有“若p则q”这种形式的命题中的p叫做

，q叫做

. 2．四种命题及其相互关系

（3）四种命题的概念：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：

原命题：若p则q；逆命题：

；否命题：

；逆否命题：

. （4）四种命题之间的关系

四种命题之间的相互关系如下图所示：

全称量词与存在量词

量词

原命题

若p则q

互

逆

互

为

为

互

否

逆

逆

否

逆命题

若q则p

互否互否

由上图知逆命题与否命题也互为逆否命题，因此这四种命题的真假之间的关系如下：

（1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的

；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性

. （5）反证法

由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以我们在直接证明某一命题有困难时，可以通过证明

，来间接地证明原命题为真命题，这种证明的方法，称作是

。用反证法证明的步骤如下：

（1）

，即假设结论的反面成立；

（2）从

出发，经过推理论证得出矛盾；

（3）由矛盾判定假设不正确，

. 3．充分条件与必要条件

（6）若pq，则p叫做q的

条件，则q叫做p的

条件；

若pq，则p叫做q的

条件，简称为

条件. （7）如果pq且qp，我们称p为q的

条件，如果pq且qp，则我们称p为q的

条件. 4．判断充要条件的方法

（8）命题判断法

设“若p则q”为原命题，那么：

(1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的

条件；

(2)原命题为假，逆命题为真时p是q的

条件；

(3)原命题与逆命题都为真时，p是q的

条件；

(4) 原命题与逆命题都为假时，p是q的

条件. （9）集合判断法

从集合的观点看，建立命题p,q相应的集合：p:A{x|p(x)成立}，q:B{x|q(x)成立}，那么：

(1)若AB，则p是q的

条件，若AB时，则p是q的

条件；

逆否命题

若q则p

(2) 若BA，则p是q的

条件，若BA时，则p是q的

条件；

(3)若AB，则p是q的

条件，若AB且BA时，则p是q的

条件. 5．逻辑联结词

（10）逻辑联结词：在数学中，有时会使用一些联结词，如

. （11）

“p且q”记作

；“p或q”记作

；“非p”记作

. （12）命题pq，pq和p的真假判断

（1）当p,q都是真命题时，pq为

；pq为

；p为

.

互

逆

逆否命题

若q则p

（2）当p,q有一个是真命题时，pq为

；pq为

. (3)

当p,q都是假命题时，pq为

；pq为

；p为

. 上述语句可以描述为：对于pq“一假必假”；对于pq“一真必真”；对于p“真假相反”。

可以用下表来判断：（即真值表）

p

q

真

真

真

假

假

真

假

假

pq

pq

p

6．全称量词与存在量词

（13）．全称量词：短语

、

在逻辑中通常叫做全称量词，用符号

来表示；

含有全称量词的命题，叫做

. 全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为

. （14）．存在量词：短语

、

在逻辑中通常叫做存在量词，用符号

来表示；

含有存在量词的命题，叫做

. 存在命题“存在M中一个x，使p(x)成立”

可用符号简记为

. （15）．含有一个量词的命题的否定：

全称命题p：xM,p(x)，它的否定p：

；即全称命题的否定是

. 特称命题p：xM,p(x)，它的否定p：

；即全称命题的否定是

. （三）、范例导航

1.四种命题的关系

例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

（1）已知a，b，c为实数，若ac0，则axbxc0有两个不相等的实数根；

2（2）若x2或x3，则x5x60；

2（3）若x2y20，则x，y全为零．

【分析】由定义写出其逆命题、否命题、逆否命题，然后判断其真假；也可利用命题间的等价性来判断．

【解答】（1）原命题是真命题；

逆命题：若axbxc0有两个不相等的实数根，则ac0，（假）；

否命题：若ac0，则axbxc0没有两个不相等的实数根，（假）；

逆否命题：若axbxc0没有两个不相等的实数根，则ac0，（真）．

（2）原命题是真命题；

2逆命题：若x5x60，则x2或x3，是真命题；

2

否命题：若x2且x3，则x5x60，是真命题；

222

2

逆否命题：若x5x60，则x2且x3，是真命题．

（3）原命题是真命题；

逆命题：若x，y全为零，则x2y20，（真）；

否命题：若x2y20，则x，y不全为零，（真）；

逆否命题：若x，y不全为零，则x2y20，（真）．

【点评】(1)要注意四种命题之间的等价关系，即原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价．判断一个命题是真命题时，要按照数学逻辑进行推理证明，而要说明它是假命题时，只需要举出一个反例即可．

(2)在否定条件或结论时，要注意否定词语的使用．常见否定词语有：

正面词语

否定词语

等于（＝）

大于（＞）

小于（＜）

有

是

都是

全是

不等于（）

不大于（）

不小于（）

无

不是

不都是

不全是

正面词语

任意的

任意两个

至少有一个

至多有一个

所有的

至多有n个

否定词语

某个

某两个

一个也没有

至少有两个

某些

或

至少有n1个

且

变式训练: 写出下列命题的否命题，并判断真假

（1）若xy=0，则x，y中至少有一个为0；

（2）若x + y =0，则x，y中至多有一个大于0. 答案：（1）否命题：若xy0，则x，y都不为0；（真）（2）否命题：若xy0，则x，y都大于0（假）

2.充分必要条件

例2（1）

“62k(kZ)”是“cos21”的（ ）

2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【分析】充要条件的判断前提是先明确条件与结论，即弄清楚哪个是条件，哪个是结论，再根据条件分析出推式的关系，从而利用定义和推式得到结论．

【解答】当12k(kZ)时，cos2cos4kcos，w即pq．

63321时，有22kkkZ，

236反之，当cos2或22k3k6kZ，即qp．

1”的充分不必要条件，故选A．

2综上所述，“（2）设集合Ax62k(kZ)”是“cos2x0,Bx0x3,那么“mA”是“mB”的（ ）

x1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【分析】本题条件与结论的形式都是集合形式，只要理清集合之间的关系，按照充要条件与集合的对应

关系即可作出判断．

【解答】∵Ax0x1，∴AB.故选A．

【点评】在从条件推结论，结论推条件时，可以利用学过的定理、定义和公式直接做逻辑判断，或利用数轴或Venn图分析两个集合的关系判断出“pq”和“qp”的真假．

例3已知p是r的充分条件而不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分而不必要条件；③r是q的必要而不充分条件；④p是s的必要而不充分条件；⑤r是s的充分而不必要条件，则正确命题序号是（ ）

A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D.②④⑤ 【分析】本题命题及其关系较多，如果直接解决则比较麻烦，可以用符号“”、“”等符号表示，简化题意，解决方便．

【解答】由题意可知：pr，且rp，qrsq．

所以sq，①正确；prq，且qp，②正确；rq，③不正确；

prs，且sp，④正确；rs，⑤不正确．故选B．

【点评】（1）本题考查了充分条件、必要条件、充要条件的概念及命题之间关系的转化，逆否命题的等价性，考查了逻辑思辩能力和转化思想．

（2）在命题之间的充分条件、必要条件、充要条件的推导过程中，使用符号语言可以简化过程，降低思维量．

变式训练:

已知命题p：1x12，命题q：x22x1m20m0，若￢p是￢q的充分不必要条件，3求实数m的取值范围．

答案：0m3．

3. 命题真假的判断

例4（1）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是

A．(p)q

B．pq

C．(p)(q)

D．(p)(q)

【分析】本题只需要判断出命题p和命题q的真假，根据真值表进行判断即可．

【解答】由题意可以判断命题p是真命题，命题q是假命题，所以命题p是假命题，命题q是真命题．只有(p)(q)是真命题，故选D．

【点评】命题pq的真假判断是“一真必真”；命题pq的真假判断是“一假必假”；命题p与p的真假相反. 变式训练: 有四个关于三角函数的命题：

p1：xR，sin2p3：x0,,xx1cos2 p2：x、yR，sinxysinxsiny

2221cos2xsinx p4：sinxcosyxy

22其中是假命题的有（ ）

A．p1，p4 B．p2，p4 C．p1，p3 D．p2，p4

答案：A．

4.命题的否定

例5已知命题p：xR,sinx1，则（ ）

A.p:xR,sinx1 B.p:xR,sinx1C.p:xR,sinx1 D.p:xR,sinx1

【分析】对全称（特称）命题的否定是将其全称（存在）量词改为存在（全称）量词，再将结论否定．

【解答】将变为，同时否定sinx1，可以得到p:xR,sinx1，故选C．

【点评】一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题p：xM,px，它的否定￢p：x0M，￢px0．

特称命题p：x0M,px0，它的否定￢p：xM，￢px．

变式训练: 命题“存在x0R，2xx00”的否定是 x0A.不存在x0R, 20>0 B.存在x0R, 20 C.对任意的xR, 2x0 D.对任意的xR, 2x>0 答案：D （四）、解法小结

1．要理解命题的四种形式，会运用逻辑推理判断真命题，利用举反例判断假命题．原命题与其逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假．

2．理解逻辑联结词的含义，能正确分析命题形式，指出构成它们的简单命题，并会依据真值表判断命题的真假．

3．注意一个命题的否定与命题的否命题是不同的，原命题的否定只否定结论，原命题的否命题既否定条件，又否定结论．

4．判断充要条件的三种方法是：定义法、等价法、利用集合间的包含关系作判断．

（五）、布置作业

必做题：

21.

命题：“若x1，则1x1”的逆否命题是（ ）

2，或x1 B.若1x1，则x21

A.若x1，则x1，或x1，则x21 D.若x1，或x1，则x21

C.若x12.“x2k4kZ”是“tanx1”成立的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分条件 D.既不充分也不必要条件. 3．命题“对任意的xR,xx10”的否定是（ ）

A.不存在xR,xx10 B.存在xR,xx10

C.存在xR,xx10 D. 对任意的xR,xx10

4.下列命题是真命题的为

3232323232

A．若112若x1,则x1 C．若xy,则xy D．若xy,则

x2y2

,则xy B．xy5、设m，n是平面

内的两条不同直线，l1，l2是平面

内的两条相交直线，则// 的一个充分而不必要条件是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A.m //

且l //

B. m // l

且n // l2

C. m //

且n //

D. m //且n // l2

6.若P:x2x30,q:210，则P是q的

条件. 2x5x6必做题答案：1. D. 2. A

3. C. 4.A. 5. B. 6. 充分不必要条件

选做题：1．已知a>0，则x0满足关于x的方程ax = b的充要条件是

(A)xR,1212112axbxax0bx0

(B) xR,ax2bxax0bx0

222212121212(C) xR,axbxax0bx0

(D) xR,axbxax0bx0

22222．“a=1”是“函数f(x)|xa|在区间[1, +∞)上为增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知p：x2mx10有两个不等的负根，q：4x24(m2)x10无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

选做题答案：1.C.2. A. 3. {m1m2或m3} （六）板书设计：

七、教学后记：复习过程中要强调知识点本身、内涵与外延，横向联系与纵向联系，注重知识的连续性和系统性。学以致用，活学活用。还要强调解题的规范性、合理性。