探究与发现 为什么截口曲线是椭圆优质课教案内容

2.1.2 椭圆的简单几何性质

第1课时

椭圆的简单几何性质

1.掌握椭圆的简单几何性质，能用椭圆的简单几何性质求椭圆方程.(重点) 2.掌握椭圆离心率的求法及a，b，c的几何意义.(难点) 3.理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念.(易混点)

[基础·初探] 教材整理

椭圆的简单几何性质

阅读教材P37观察～P40例4以上部分，完成下列问题. 1.椭圆的简单几何性质

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准

方程

范围

顶点

轴长

焦点

焦距

x2y2a2＋b2＝1(a＞b＞0) －a≤x≤a，－b≤y≤b

A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b)

y2x2a2＋b2＝1(a＞b＞0) －b≤x≤b，－a≤y≤a

A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b,0)，B2(b,0) 短轴长＝2b，长轴长＝2a

F1(－c,0)，F2(c,0)

F1(0，－c)，F2(0，c)

|F1F2|＝2c

对称性

离心率

2.离心率性质

对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)

ce＝a

离心率e的范围是(0,1).e越接近于1，椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) x2y2(1)椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.(

) x2y2y2x2(2)椭圆12＋4＝1与12＋4＝1有相同的离心率.(

) (3)椭圆的离心率e越接近于0，椭圆越接近于圆.(

) 【答案】

(1)×

(2)√

(3)√

[小组合作型]

椭圆的简单几何性质

(1)椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为(

) A.(±13,0) C.(0，±13) B.(0，±10) D.(0，±69) (2)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为(

) 5A.4

2C.2

3B.2

1D.2

【自主解答】

(1)由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±69).

(2)设长轴长为2a，短轴长为2b，由题意可知a＝2b，则c＝a2－b2＝3b2＝中华资源%库c3b33b，所以离心率为e＝a＝2b＝2.

【答案】

(1)D

(2)B

已知椭圆的方程讨论其几何性质时，应先将方程化为标准形式，不确定焦点位置的要分类讨论，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等，同时，要注意其中某些概念的区别，如长轴长是2a，短轴长是2b.

[再练一题] 1.(1)椭圆6x2＋y2＝6的长轴的顶点坐标是(

) A.(－1,0)，(1,0) B.(－6,0)，(6,0) C.(－6，0)，(6，0) D.(0，－6)，(0, 6) y2【解析】

椭圆的标准方程为x＋6＝1，焦点在y轴上，其长轴的端点坐标2为(0，±6).

【答案】

D中·华资源%库ziyuanku.comx2y2(2)已知椭圆9＋m＝1的一个顶点为(0,5)，试求椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，离心率及其余的顶点. x2y2【解】

∵(0,5)是椭圆9＋m＝1的顶点，

∴m＝25.

x2y2∴椭圆方程为9＋25＝1，∴a2＝25，b2＝9.∴c2＝a2－b2＝16.

c∴长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，焦点为(0，－4)，(0,4)，离心率为e＝a＝45，

其余顶点为(－3,0)，(3,0)，(0，－5).

利用椭圆几何性质求其标准方程

写出满足下列条件的椭圆的标准方程：

1(1)焦点在x轴上，a＝4，e＝2；

2(2)焦点在y轴上，c＝6，e＝3；

(3)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3；

3(4)离心率为2，经过点(2,0).

【精彩点拨】

本题考查椭圆方程的求法.根据题中所给条件，结合椭圆的几何性质定位(即确定焦点位置)、定量(即确定长轴和短轴的长)，若没有指明焦点位置，要分焦点在x轴上、y轴上进行讨论.

c1【自主解答】

(1)由a＝4，e＝a＝2知，c＝2，b2＝16－4＝12.

x2y2又焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为16＋12＝1.

2(2)由c＝6，e＝3知，a＝9，b2＝81－36＝45.

y2x2又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为81＋45＝1.

(3)由题意知，a＝5，c＝3，b2＝25－9＝16，焦点所在坐标轴可为x轴，也x2y2x2y2可为y轴，故椭圆的标准方程为25＋16＝1或16＋25＝1.

c3(4)由e＝a＝2，

设a＝2k，c＝3k，k>0，则b＝k.

又椭圆经过点(2,0)，当它为短轴顶点时，则b＝2，a＝4，椭圆的标准方程x2y2为4＋16＝1.

当点(2,0)为长轴顶点时，a＝2k＝2，即k＝1.

x22所以椭圆标准方程为4＋y＝1.

利用椭圆的性质求椭圆的标准方程应注意：

1讨论：若题目中没有明确焦点的位置，要根据题中条件适当分类，设出

对应方程；

2减参：设椭圆方程时，根据题中所给条件建立关于a，b的关系式，尽量减少待确定的参数的个数.

[再练一题] 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

4(1)长轴长是10，离心率是5；

(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【解】

(1)设椭圆的方程为

x2y2y2x2a2＋b2＝1(a>b>0)或a2＋b2＝1(a>b>0).

由已知得2a＝10，a＝5.

c4又∵e＝a＝5，∴c＝4.

∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.

x2y2y2x2∴椭圆方程为25＋9＝1或25＋9＝1.

x2y2(2)依题意可设椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0).

如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且Ziyuanku.com|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，

x2y2故所求椭圆的方程为18＋9＝1. [探究共研型]

椭圆的离心率

探究1

椭圆的离心率是怎样定义的？如何用a，b表示离心率？

c【提示】

(1)把椭圆的焦距与长轴长的比e＝a称为椭圆的离心率.

22cc2a－b2(2)由e＝a得e＝a2＝a2，

∴e＝∴e＝b21－a.

b21－a2. 探究2

下列两个椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？

x2y24x＋9y＝36与25＋20＝1. 22x2y2【提示】

将椭圆方程4x＋9y＝36化为标准方程＋＝1，则a2＝9，b294225x2y2＝4，所以a＝3，c＝a－b＝5，故离心率e＝3；椭圆25＋20＝1中，a2＝22525，b2＝20，则a＝5，c＝a2－b2＝5，故离心率e＝5.

由于前一个椭圆的离心率较大，因此前一个椭圆更扁，后一个椭圆更圆.

如图2-1-2所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横2坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的3，求椭圆的离心率；

图2-1-2 【精彩点拨】

根据题意，找出关于a、b、c的方程或不等式，结合a2＝b2＋c2求解.

【自主解答】

设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c.

2则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为c，3b，

则△MF1F2为直角三角形.

在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，

4即4c2＋9b2＝|MF1|2.

而|MF1|＋|MF2|＝424c2＋9b2＋3b＝2a，

整理得3c2＝3a2－2ab.

又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.

b24所以a2＝9.

22c2a－bb25∴e＝a2＝a2＝1－a2＝9，

25∴e＝3.

求椭圆离心率或其范围的常用方法

1.定义法：若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2，b2，求出a，c的c值，利用公式e＝a直接求解.

2.转化法：若椭圆的方程未知，则根据条件建立a，b，c满足的关系式，化为关于a，c的齐次方程，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程，即可求得e的值.WWW.ziyuanu.com

[再练一题] 3.如图2-1-3所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率.

图2-1-3 x2y2【解】

设椭圆的方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)，

如题图所示，则有F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，直线PF1的方程为x＝－c，来&源：ziyuanu.comb2x2y2b2代入方程a2＋b2＝1，得y＝±a，∴P－c，a.

又PF2∥AB，∴△PF1F2∽△AOB.

|PF1||AO|∴|FF|＝|OB|，

12b2b∴2ac＝a，∴b＝2c.

c21∴b＝4c，∴a－c＝4c，∴a2＝5.

22222∴e2＝5，即e＝5，所以椭圆的离心率为15WWW.ziyuanku.com55.

1.椭圆x2＋4y2＝1的离心率为(

) 3A.2

2C.2

23B.4

2D.3

y2【解析】

椭圆方程可化为x＋1＝1，

413∴a2＝1，b2＝4，∴c2＝4，

来源：ziyuanku.comc233∴e＝a2＝4，∴e＝2.

2【答案】

A 12.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于2，则C的方程是(

) x2y2A.3＋4＝1 x2y2C.4＋2＝1 x2y2B.4＋＝1 3x2y2D.4＋3＝1 【解析】

右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c＝1.

c1又离心率为a＝2，

故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，

x2y2故椭圆的方程为4＋3＝1，故选D.

【答案】

D 3.椭圆x2＋4y2＝16的短轴长为________. x2y2【解析】

由16＋4＝1可知b＝2，

∴短轴长2b＝4.

【答案】

4 4.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________.

【解析】

设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，

则2a＋2c＝2×2b，

即a＋c＝2b，

所以(a＋c)2＝4b2＝4(a2－c2)，

所以3a2－5c2＝2ac，同除a2，

整理得5e2＋2e－3＝0，

3所以e＝5或e＝－1(舍去).

3【答案】

5

5.求满足下列各条件的椭圆的标准方程. 1(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为2，焦距为8；

(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3. 【解】

(1)由题意知，2c＝8，c＝4，

c41∴e＝a＝a＝2，∴a＝8，

从而b2＝a2－c2＝48，

y2x2∴椭圆的标准方程是64＋48＝1.

a＝2c，(2)由已知

a－c＝3，

a＝23，∴从而b2＝9，

c＝3，∴所求椭圆的标准方程为

x2y2x2y212＋9＝1或9＋12＝1.