3.1.3 导数的几何意义教学设计和教学实录

《导数的几何意义》

廉江市第三中学

谭广发

一、教材分析

1、教材的地位与作用

知识背景: 微积分的创立是数学发展史的里程碑，它的发展及应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

本节《导数的几何意义》是人教版新课标高中《数学》选修1-1中3.1.3的内容 ,是学生学习了变化率问题及导数的概念后对导数的进一步探究.本节课帮助学生更好地理解导数的概念，并为后面学习利用导数研究函数的性质打下了必不可少的知识基础。

2、教学重点和难点

教学重点：探求和理解导数的几何意义

教学难点：导数几何意义的推导思路

3、教学三维目标

（1）知识与技能目标 :

通过实验探求和理解导数的几何意义；

体会导数在刻画函数性质中的作用；

（2）过程与方法目标：

培养学生分析、抽象、概括等思维能力；

通过“以直代曲”思想的具体运用，使学生达到思维方式的迁移. （3）情感态度与价值观目标：

渗透逼近和以直代曲思想，激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力。

二. 教法、学法分析

（一）学情分析

1、学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解了瞬时变化率就是导数，已经具备一定的微分思想。

2、对于导数的几何意义及其在研究函数性质中有什么作用还不够理解，多数同学对此会有相当的兴趣和积极性。

3、学生在学习时可能会遇到以下困难，比如从割线到切线的过程中采用的逼近方法，理解导数就是曲线上某点的斜率等。

（二）教法分析：

1、多媒体辅助教学（几何画板、幻灯片等）

借助多媒体教学手段使抽象问题变得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示探索的过程，易于寻求思路方法。

2、探究发现法教学 让学生通过动手操作体验从特殊到一般的认识规律，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法. （三）学法分析

倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。引导学生动手操作，指导学生讨论交流从而发现规律

，使学生真正成为教学主体.

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三. 教学设想

1、课时安排：1课时 2、时间安排：

新课引入约3分钟，探索求知约20分钟，

灵活运用约15分钟，小结提高约2分钟。

以问题为载体，学生活动为主线，以技术为平台,实验探索获得新知

四、教学过程

（一）创设情景 引入新课

问题1

平面几何中我们是怎样判断直线是圆的切线的呢？

复习回顾：初中平面几何中圆的切线的定义：

直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫切点。

问题2

圆的切线定义是否适用于一般曲线的定义呢？如下图直线L1是曲线的切线吗? y L2呢?

l1

l2

A C 0 x B 问题3 那么对于一般的曲线，切线该如何寻找呢？

（二）动手操作

探索求知

探究一:学生动手拖动过曲线上一个定点的直线，观察割线的变化趋势，然后教师引导给出一般的曲线的切线定义。

（结合多媒体演示）

y 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时, 若割线PQ有一个极限位置PT. 则我们把直线PT称为曲线

P 在点P处的切线.

x o 探究二:学生自主合作探求导数与斜率的关系，然后教师请学生证明导数就是切线斜率。

复习回顾：导数的定义(瞬时变化率)

由切线的一般定义可知，曲线在某点P处的切线的斜率就是当Δx→0时,割线PQ的斜率。

k切线f'(x0)limx0f(x0x)f(x0)ylimx0xx

即函数在某处x=x0的导数的几何意义为曲线在该点处的切线的斜率。

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.

（三）灵活应用，巩固新知

2例1: 观察跳水运动高度随时间变化的函数

h(t)4.9t6.5t10

的图象，请描述曲线在t0,t1,t2附近的变化情况。

2

设计意图：(1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的切线近似代替；

(2)函数的单调性与其导函数正负（切线斜率的正负）相关 ；

(3)曲线的变化快慢与切线的倾斜角的内在联系 .

练习1、根据已知条件，画出函数图象在该点附近的大致形状

(1) f(1)=-5, f’(1)=-1; (2) f(5)=10,

f’(5)=15;(3) f(10)=20, f’(10)=0;

例2:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.

f(x0x)f(x0)解:klim

x0x

(1x)21(11)lim

x0x

22x(x)

lim2.x0x

因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x. 求曲线在点(x0,f(x0))处的切线方程的基本步骤: ,f（1）

求出函数在点x0处的变化率(x0)

，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。

（2）

根据直线方程的点斜式写出切线方程，即

yf(x0)f(x0)(xx0).

练习2: 18已知曲线 ,yx3上一点P(2,)求:(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. 33

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(xx)3x31y3解：(1)yx3,ylimlim3

x0xx03x

22313xx3x(x)(x)

lim3x0x

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lim[3x23xx(x)2]x2.3x0

即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

例题及练习设计意图：

二例题处理后，所设的配对练习是突破难点的关键，也是作为对知识应用的实时检测，给学生提供进一步比较、类比、归纳的机会，为熟练使用新知解决问题打下基础。

练习编排按照由易到难，由简单到复杂的认识规律和心理特征，有利于提高学生的学习积极性。

探究三:学生动手画曲线上不同点的切线，观察切线的变化，从而引入导函数的概念。

导函数：（多媒体演示）由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时, f’(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数.

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即:

yf(xx)f(x)(x)ylimflim

x0xx0x

在不致发生混淆时，导函数也简称导数。

设计意图:与函数概念相类比,很自然地提出导函数概念,为以后的学习做准备.

（四）自主小结 整体把握

（1）你学到了什么技能？

（2）你知道了哪些方法？

（五）布置作业 拓展提高

一、必做题

1． P11A组T6 2f(x)2x2．已知函数 ，试画出其导函数图象的大致形状

二、选做题

已知导函数

f’(x) 的下列信息: 当10:当X>4或X<1时,f’(x)<0;当X=4或X=1时, f’(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状. 设计意图：可以满足不同层次学生的需要，符合因材施教原则。

五.评价反思

在教学中，教师始终扮演学生学习的协作和指导者。学生以研究者的身份学习，在问题解决的过程中，通过自身的体验对知识的认识从模糊到清晰，从直观感悟到精确掌握。

评价手段： 1、通过学生参加活动是否积极主动,能否与他人合作探索,对学生的学习过程评价;

2、通过学生对方法的选择,对学生的学习能力评价; 3、通过学生对练习、课后作业的完成情况,对学生的学习效果评价.

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