阅读与思考 坐标法与机器证明教案公开课一等奖

4.1.1

圆的标准方程（一）教学目标1．知识与技能（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.（2）会用待定系数法求圆的标准方程.2．过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.3．情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.（二）教学重点、难点重点：圆的标准方程难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.（三）教学过程教学环节

教学内容

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又师生互动

设计意图

复习引入

是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程具有什么特征？

确定圆的基本条件为圆心和由学生回答，然后引入课题

设置情境引入课题

引导学生自己证明(x

–

半径，设圆的圆心坐标为A(a，b)，a)2 + (y

–

b)2 = r2为圆的方程，半径为r (其中a、b、r都是常数，得出结论.r＞0)设M

(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引概念形成

方程②就是圆心为A (a，b)半径为r的圆的方程，我们通过学生自己证明培养学生的探究能力. 导学生自己列出)P

= {M|MA| = 把它叫做圆的标准方程. r}，由两点间的距离公式让学生写出点的坐标适合的条件(xa)2(yb)2r

①化简可得：(x

–

a)2 + (y

–

b)2 = r2②

–5

6

–

–

4

–

–

2

–

–

–

–2 –

–

–4

–

–

–

A

M

5

例1

写出圆心为A

(2，–3)引导学生分析探究半径长等于5的圆的方程，并判断从计算点到圆心的距离入手.点M1(5，–7)，M2(5,1)是否在这个圆上.

例1

解：圆心是A(2，–3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x

+ 3)2

+ ( y

+ 3)2

=25.分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手.探究：点M(x0，y0)与圆(x

–

a)2

把M1 (5，–7)，M2 (5，(y +3)2 =25，左右两边相等，+ (y

–

b)2 = r2的关系的判断方法：–1) 的坐标代入方程(x

–2)2

+ （1）(x0

–

a)2 + (y0

–

b)2＞r2，点M1的坐标适合圆的方程，点在圆外.所以点M2在这个圆上；把22 2（2）(x0

–

a) + (y0

–

b)= r，M2

(5，–1)的坐标代入方点在圆上. 应用举例

通过实例引导学生掌握求圆的标准方程的两种方法. 程(x

– 2)2 + (y +3)2 =25，左右（3）(x0

–

a)2 + (y0

–

b)2 ＜r2，两边不相等，点M2的坐标不点在圆内. 适合圆的方程，所以M2不在这个圆上

例2 △ABC的三个顶点的坐师生共同分析：从圆的标标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，– 8). 准方程(x

–

a)2 + (y

–

b)2 = r2求它的外接圆的方程.可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数，(学生自己运算解例2

解：设所求圆的方程是(x–

a)2 + (y

–

b)2 = r2.

①因为A (5，1)，B (7，–3)，C (2，决)

–

8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是(5a)2(1b)2r2222(7a)(3b)r222(2a)(8b)r解此方程组，得a2b32r25所以，△ABC的外接圆的方程是(x– 2)2 + (y +3)2 =25. 例3 已知圆心为C的圆C. 师生共同分析：如图确定经过点A(1，1)和B(2，–2)，且圆一个图只需确定圆心位置与心在半径大小.圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，–2)，由于圆心C与A、B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直l : x –

y + 1 = 0上，求圆心为C的圆的标准方程.比较例(2)、例（3）可得出△ABC外接圆的标准方程的两种求法：

①根据题设条件，列出关于a、线l与直线m的交点，半径长b、r的方程组，解方程组得到a、等于|CA|或|CB|.(教师板书解b、r得值，写出圆的根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 练习：课本P127

第1、3、4题

例3

解：因为A (1，1)，B (2，– 2)，所以线段AB的中31点D的坐标为(，)，直22C B A m 题过程)

线AB的斜率

kAB =21= –3，

21因为线段AB的垂直平分

线l′的方程是

y +113(x)，

232即x –3y

–3 = 0. 圆心C的坐标是方程组

x3y30的解. xy10解此方程组，得

x3

y2所以圆心C的坐标是(–3，–2) . 圆心为C的圆的半径长

r =|AC|=(13)2(12)2= 5. 所以，圆心为C的圆的标准方程是

(x + 3)2 + (y +2)2 =25.

1．圆的标准方程. 2．点与圆的位置关系的判断归纳总结

方法. 3．根据已知条件求圆的标准方程的方法. 课外作业

布置作业：见习案4.1第一课时

学生独立完成

巩固深化

教师启发，学生自己比较、归纳. 形成知识体系

备选例题

例1

写出下列方程表示的圆的圆心和半径

（1）x2 + (y + 3)2 = 2；

（2）(x + 2)2 + (y

– 1)2 = a2 (a≠0) 【解析】（1）圆心为(0，–3)，半径为2；

（2）圆心为(–2，1)，半径为|a|. 例2

圆心在直线x

– 2y

– 3 = 0上，且过A(2，–3)，B(–2，–5)，求圆的方程. 解法1：设所求的圆的方程为(x

–

a)2 + (y

–

b)2 = r2

(2a)2(3b)2r2由条件知(2a)2(5b)2r2

a2b30

a1解方程组得b2

2r10即所求的圆的方程为(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10 解法2：kAB1，AB的中点是(0，–4)，

2所以AB的中垂线方程为2x + y + 4 = 0 由x2y30x1得

2xy40y2因为圆心为(–1, –2 )又r(21)2(32)210. 所以所求的圆的方程是(x + 1)2 + (y + 2)2 = 10. 例3

已知三点A(3，2)，B(5，–3)，C(–1，3)，以P(2，–1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程. 【解析】要使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|、|PB|、|PC|中的中间值. |PA|10,|PB|13,|PC|25. 因为|PA|＜|PB|＜|PC| 所以圆的半径r|PB|13. 故所求的圆的方程为(x – 2)2 + (y + 1)2 = 13.