1.2.1 中心投影与平行投影优质课教学设计

第2课时

空间几何体的三视图

1.结合生活实例,了解中心投影与平行投影的概念.

2.学会画简单几何体的空间图形(长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱及它们的简单组合体)的三视图.

3.能识别柱、锥、台、球的三视图所表示的立体模型.

重点:简单几何体的空间图形的三视图的画法.

难点:能识别三视图所表示的空间几何体.

学法指导:通过三视图得到几何体时,要根据三视图的基本特征,想象视图中每部分对应的实物部分的形象.要特别注意几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置.

汽车驾驶理论知识在讲解交警手势意义时都会配上图形,如图所示的是交警在指挥交通时出现的一个手势,该手势从两个不同的方向同时拍摄,形成了交警两种不同的照片.

预学1:投影的定义及分类

(1)投影的定义:

由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫作投影,其中,我们把光线叫作投影线,把留下物体影子的屏幕叫作投影面.

(2)投影的分类:

①中心投影:光由一点向外散射形成的投影,叫作中心投影.中心投影的投影线交于一点.

②平行投影:在一束平行光线照射下形成的投影,叫作平行投影.平行投影的投影线是平行的.在平行投影中,投影线正对着投影面时,叫作正投影,否则叫作斜投影.

议一议:中心投影与平行投影的区别与联系?(指定小组回答,其他组补充)

【解析】(1)中心投影的投影线交于一点,平行投影的投影线互相平行.

(2)平行投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小完全相同;而中心投影则不同.

(3)画实际效果图时,一般用中心投影法,画立体几何中的图形时,一般用平行投影法.

预学2:三视图

分

类

正(主)视图

侧(左)视图

说明

特征

俯视图

光线从几何体的前面向后面正投影,得到投影图,这种投影图叫作几何体的正(主)视图

光线从几何体的左面向右面正投影,得到投影图,这种投影图叫作几何体的侧(左)视图

光线从几何体的上面向下面正投影,得到投影图,这种投影图叫作几何体的俯视图

几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图统称为几何体的三视图,三视图是正投影

一个几何体的侧(左)视图和正(主)视图高度一样,俯视图与正(主)视图长度一样,侧(左)视图与俯视图宽度一样

想一想:说出下列常见几何体的三视图.

长方体、正方体、圆柱、圆锥、圆台、球.

常见几何体

长方体

正方体

圆柱

圆锥

圆台

球

(指定小组回答,其他组补充)

【解析】

正(主)视图

侧(左)视图

矩形

矩形

正方形

正方形

矩形

矩形

等腰三角形

等腰三角形

等腰梯形

等腰梯形

圆

圆

俯视图

正方形

带圆心的圆

同心圆

圆

圆

矩形

预学3:三视图反映物体的关系

正(主)视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;

侧(左)视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度.

因此正(主)视图与俯视图的长度相等,且相互对正,即“长对正”;正(主)视图与侧(左)视图的高度相等,且相互平齐,即“高平齐”;俯视图与侧(左)视图的宽度相等,即“宽相等”.

练一练:画出如图所示的正六棱柱的三视图.

(指定小组画出,其他组补充)

【解析】三视图如图所示.

预学4:三视图的尺寸及画法注意事项

(1)每个视图都反映物体两个方向上的尺寸.正(主)视图反映物体的上下和左右尺寸,俯视图反映物体的前后和左右尺寸,侧(左)视图反映物体的前后和上下尺寸.

(2)画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表示,看不见的轮廓线和棱用虚线表示.

想一想:画出如图所示的几何体的三视图.

(指定小组画出,其他组补充)

【解析】三视图如图所示.

(指导学生完成学生用书《固学案》中本课时的《预习检测》)

1.有下列说法:①平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点;②空间图形经过中心投影后,其大小和形状不变;③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式.其中正确说法的个数为(

).

A.0

B.1

C.2

D.3

【解析】由平行投影和中心投影的定义知,平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点,故①正确;空间图形经过中心投影后,其形状可能不变,但大小一定改变,故②错误;几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式,故③正确.

【答案】C

2.设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,其侧(左)视图是(

).

A.两边长分别为a、c的长方形

B.两边长分别为a、b的长方形

C.两边长分别为b、c的长方形

D.以上答案都有可能

【解析】因为没有指明以哪个方向为正面进行观察,所以A、B、C选项都有可能.

【答案】D

3.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体是由(简单几何体)

与

组成的.

【解析】由三视图可得,几何体是四棱台和长方体的组合体.

【答案】四棱台

长方体

4.下面两个几何体的侧(左)视图一样吗?俯视图呢?

【解析】侧(左)视图一样,俯视图不同.

1.平行投影的应用

例1

如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是A'A,C'C的中点,则下列判断正确的是

.

①四边形BFD'E在底面ABCD内的投影是正方形;

②四边形BFD'E在面A'D'DA内的投影是菱形;

③四边形BFD'E在面A'D'DA内的投影与在面ABB'A'内的投影是全等的平行四边形.

【方法指导】先由平行投影的定义知投影线垂直于投影面,从而确定四边形BFD'E四个顶点在各投影面的位置,再把各投影点连线成图.

【解析】①四边形BFD'E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B,C,D,A,故投影是正方形,正确.

②设正方体的边长为2,则AE=1,取D'D的中点G,如图,则四边形BFD'E在面A'D'DA内的投影是四边形AGD'E.因为AE∥D'G且AE=D'G,所以四边形AGD'E是平行四边形.又AE=1,D'E=

,故四边形AGD'E不是菱形.

对于③,由②知是两个边长分别相等的平行四边形,从而③正确.

【答案】①③

变式训练1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为(

).

【解析】画图可知选A.

【答案】A

2.简单几何体的三视图

例2

如图所示的四棱锥的底面是正方形,顶点在底面上的射影是底面正方形的中心,试画出该四棱锥的三视图.

【方法指导】作图时注意结合四棱锥的特征,从正(主)、侧(左)、俯三个方向想象几何体的形状,得到它的三视图.

【解析】四棱锥的三视图如图所示.

变式训练2已知三棱柱如图所示,以BCC1B1面的前面为正前方画出的三视图是(

).

【解析】正面BCC1B1为矩形,故正(主)视图为矩形,左侧为△ABC,所以侧(左)视图为三角形,俯视图为两个有公共边的矩形,公共边为CC1在面ABB1A1内的投影.故选A.

【答案】A

3.组合体的三视图

例3画出下列几何体的三视图.

【方法指导】观察几何体的结构,从正(主)、侧(左)、俯三个方向想象几何体的形状,得到几何体的三视图.

【解析】几何体的三视图如下图所示.

变式训练3下图是一些立体图形的三视图,试画出此立体图形的示意图.

【解析】(1)该立体图形为六棱锥如图①;(2)该立体图形为四棱锥如图②.

1.观察立体图形时,要选择在某个方向上“平视”,用目光将立体图形“压缩”成平面图形,这样就得到了三视图,注意三视图的排列规则和虚、实线的确定.一般地,几何体的轮廓线中能看到的画成实线,不能看到的画成虚线.

2.由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的;其次,要遵循以下三步:①看视图,明关系;②分部分,想整体;③综合起来,定整体.

3.画组合体的三视图应注意以下问题:

(1)确定正(主)视、俯视、侧(左)视的方向,同一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同.

(2)看清简单组合体是由哪几个基本几何体组成的,并注意它们的组成方式,特别是它们的交线位置.

(3)画图时,实、虚线要使用得恰当.

(4)画出的三视图要检验是否符合“侧(左)视图和正(主)视图高度一样,俯视图与正(主)视图长度一样,侧(左)视图与俯视图宽度一样”的基本特征,特别注意几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置.

(指导学生完成学生用书《固学案》中本课时的《当堂检测》)

1.四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下,在地面上的投影(阴影部分)如图,则在字母L,K,C的投影中,与字母N属同一种投影的是(

).

【解析】

N和L,K属中心投影,C属平行投影.

【答案】A

2.如图,下列几何体在各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(

).

(1)正方体

(2)圆锥

(3)三棱台

(4)正四棱锥

A.(1)(2)

B.(1)(3)

C.(1)(4)

D.(2)(4)

【答案】D

3.给出下列说法:

①如果一个几何体的三视图是完全相同的,则这个几何体是正方体;

②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形,则这个几何体是长方体;

③如果一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体是长方体;

④如果一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是等腰梯形,则这个几何体是圆台.

其中正确的是

.(填入所有正确命题的序号)

【解析】①还可以是球;②还可以是横放的圆柱;④还可以是棱台;只有③正确.

【答案】③

4.画出下列三视图所表示的几何体的示意图.

【解析】先画几何体的正面,再侧面,然后结合三个视图完成几何体的轮廓,如下图所示.

(2014年江西卷)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是(

).

【解析】该几何体是组合体,上面的几何体是一个五面体,下面是一个长方体,且五面体的一个面即为长方体的一个面,五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等,因此选B.

【答案】B