3.1.2 导数的概念ppt课件配套教案内容

金堂中学教学设计 沈友胜

第1课时

变化率问题、导数的概念

[核心必知] 1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P72～P76的内容，回答下列问题．

(1)气球膨胀率

4气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3，如果将半径333Vr表示为体积V的函数，那么r(V)＝. 4π①当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少？

r（1）－r（0）提示：≈0.62(dm/L)．

1－0②当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球的平均膨胀率是多少？

r（2）－r（1）提示：≈0.16(dm/L)．

2－1③当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率又是多少？

r（V2）－r（V1）提示：．

V2－V1(2)高台跳水

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. ①在0≤t≤0.5这段时间里，运动员的平均速度v是多少？

h（0.5）－h（0）提示：v＝＝4.05(m/s)．

0.5－0②在1≤t≤2这段时间里，运动员的平均速度v是多少？

h（2）－h（1）提示：v＝＝－8.2(m/s)．

2－165③在t1≤t≤t2这段时间里，

运动员的平均速度

v又是多少？其中，t1

h（t2）－h（t1）提示：v＝．

t2－t12．归纳总结，核心必记

(1)函数的平均变化率

对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f（x2）－f（x1）f(x1)变为f(x2)，我们把式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．

x2－x1习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为(2)瞬时速度

①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．

②若物体运动的路程与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0f（t0＋Δt）－f（t0）＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0Δt时刻的瞬时速度．

(3)导数的定义

一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：

，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，

记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝=[问题思考] (1)设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，则函数y＝f(x)的平均Δyf（x2）－f（x1）f（x1＋Δx）－f（x1）变化率＝＝表示什么？

Δxx2－x1Δx．

Δy．

Δx

提示：表示割线AB的斜率．

(2)Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？

Δy提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为0，平均变化率可正、可Δx负、可为零．

(3)在高台跳水中，如何求在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度v？当Δt趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

v（1＋Δt）－v（1）提示：v＝.当Δt趋近于0时，平均速度v即为t＝1时的瞬时速度．

（1＋Δt）－1(4)平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？

提示：(1)区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；

Δy(2)联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的Δx瞬时变化率，它是一个固定值．

[课前反思] (1)平均变化率的定义是：

；

(2)什么是函数的瞬时变化率？它与平均变化率有什么区别和联系？

；

(3)导数的定义是什么？如何表示？

；

(4)平均速度与瞬时速度的定义是什么？它们有什么区别和联系？

．

Δy[思考1]

平均变化率可用式子表示，其中Δy、Δx的意义是什么？

Δx提示：Δy、Δx分别表示函数值和自变量的变化量．

[思考2]

如何求函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率？

f（x2）－f（x1）提示：平均变化率为．

x2－x1讲一讲

1．已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：

(1)从0.1到0.2的平均变化率；

(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．

[尝试解答]

(1)因为f(x)＝3x2＋5，

所以从0.1到0.2的平均变化率为

3×0.22＋5－3×0.12－5＝0.9.

0.2－0.1(2)f(x0＋Δx)－f(x0)

＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)

22＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)＋5－3x0－5

＝6x0Δx＋3(Δx)2.

函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为

6x0Δx＋3（Δx）2＝6x0＋3Δx. Δx

(1)求函数平均变化率的三个步骤

第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.

第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．

Δyf（x2）－f（x1）第三步，求平均变化率＝.

Δxx2－x1(2)求平均变化率的一个关注点

f（x0＋Δx）－f（x0）求点x0附近的平均变化率，可用的形式．

Δx练一练

11．已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变x化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．

解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为

12＋－（1＋1）2f（2）－f（1）1＝＝；

122－1113＋5＋－5314f（5）－f（3）自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝.

2155－3

114因为<，

2151所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．

x

某物体按s＝f(t)的规律运动．

[思考1]

该物体在[t0，t0＋Δt]内的平均速度是什么？在t0的瞬时速度是多少？

Δy

[思考2]

如何求(当Δx无限趋近于0时)的极限？

Δx名师指津：(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．

Δy(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．

Δx讲一讲

229＋3（t－3），0≤t<3，2．若一物体的运动方程为s＝2(路程单位：m，时间单位：3t＋2，t≥3，s)．求：

(1)物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度；

(2)物体在t＝1 s时的瞬时速度．

[尝试解答]

(1)因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度为Δs48＝＝24(m/s)．

Δt2

求瞬时速度的步骤

(1)求物体运动路程与时间的关系s＝s(t)；

(2)求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；

(3)求平均速度Δs；

Δt

练一练

2．一质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．

由题意知，4a＝8，所以a＝2.

[思考]

任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f(x)＝|x|在x＝0处是否存在导数？

名师指津：不一定，f(x)＝|x|在x＝0处不存在导数．

ΔyΔx→0时，的极限不存在，从而在x＝0处的导数不存在．

Δx讲一讲

13．求函数y＝x－在x＝1处的导数．

x111－

[尝试解答]

∵Δy＝(1＋Δx)－－1＋Δx1Δx＝Δx＋，

1＋ΔxΔxΔx＋1＋ΔxΔy1∴＝＝1＋，

ΔxΔx1＋Δx

求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤

简称：一差、二比、三极限．

练一练

3．求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数．

解：∵Δy＝f(3＋Δx)－f(3)

＝(3＋Δx)2＋5(3＋Δx)－(32＋5×3)

＝9＋6Δx＋(Δx)2＋15＋5Δx－9－15

＝(Δx)2＋11Δx，

Δy（Δx）2＋11Δx∴＝＝Δx＋11，

ΔxΔx

————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————

1．本节课的重点是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的定义，也是本节课的难点．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)平均变化率的求法，见讲1；

(2)瞬时速度的求法，见讲2;

(3)利用定义求函数在某一点处的导数的方法，见讲3. 3．本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致出错，见讲3.

注意：在导数的定义中，增量Δx的形式是多样的，但不论Δx是哪种形式，Δy必须选择相对应的形式．

课时达标训练（十三）

[即时达标对点练] 题组1

求函数的平均变化率

1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(

)

A．1

B．－1 C．2

D．－2 解析：选B

平均变化率为1－3＝－1. 3－1

Δy2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1，2)及邻近点Q(1＋Δx，2＋Δy)，则的值Δx为(

) A．4

B．4x

C．4＋2Δx2

D．4＋2Δx

Δy2（1＋Δx）2－2×12解析：选D

＝＝4＋2Δx. ΔxΔx3．求函数y＝f(x)＝1在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率．

x1－1

1＋Δx解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝＝＝1－1＋Δx1－（1＋Δx）＝

1＋Δx（1＋1＋Δx）1＋Δx，

（1＋1＋Δx）1＋ΔxΔy1＝－

. Δx（1＋1＋Δx）1＋Δx－Δx∴题组2

求瞬时速度

4．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t3－2表示，则此物体在t＝1 s时的瞬时速度(单位：m/s)为(

) A．1

B．3

C．－1

D．0 答案：B 5．求第4题中的物体在t0时的瞬时速度．

解：物体在t0时的平均速度为

s（t0＋Δt）－s（t0）v＝

Δt223（t0＋Δt）3－2－（t30－2）3t0Δt＋3t0（Δt）＋（Δt）＝＝

ΔtΔt2＝3t20＋3t0Δt＋(Δt).

故此物体在t＝t0时的瞬时速度为3t20

m/s. 6．若第4题中的物体在t0时刻的瞬时速度为27 m/s，求t0的值．

s（t0＋Δt）－s（t0）（t0＋Δt）3－2－（t30－2）解：由v＝＝

ΔtΔt233t20Δt＋3t0（Δt）＋（Δt）2＝＝3t20＋3t0Δt＋(Δt)，

Δt

2所以由3t0＝27，解得t0＝±3，

因为t0>0，故t0＝3，

所以物体在3 s时的瞬时速度为27 m/s. 题组3

利用定义求函数在某一点处的导数

7．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(

) A．f′(x)＝aB．f′(x)＝b

C．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b

8．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于(

) A．2

B．－2

C．3

D．－3

9．求函数f(x)＝x在x＝1处的导数f′(1)．

[能力提升综合练]

A．与x0，h都有关

B．仅与x0有关，而与h无关

C．仅与h有关，而与x0无关

D．以上答案都不对

解析：选B

由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关．

2．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(

) A．k1>k2

B．k2

C．k1＝k2

D．不确定

f（x0＋Δx）－f（x0）解析：选D

k1＝

Δx

（x0＋Δx）2－x20＝＝2x0＋Δx；

Δx2f（x0）－f（x0－Δx）x20－（x0－Δx）k2＝＝＝2x0－Δx.

ΔxΔx因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定．

3．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(

)

A．两机关节能效果一样好

B．A机关比B机关节能效果好

C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大

D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大

解析：选B

由题图可知，A机关所对应的图象比较陡峭，B机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关比B机关节能效果好．

4．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是(

) A．7 m/s

B．6 m/s C．5 m/s

D．8 m/s Δs1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2－（1－3＋32）解析：选C

∵＝

ΔtΔt＝5＋Δt，

5.如图是函数y＝f(x)的图象，则

(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________；

(2)函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．

f（1）－f（－1）2－11解析：(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为＝＝.

221－（－1）

x＋3，－1≤x≤1，(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝2

x＋1，1

242－013答案：(1)

(2)

246．函数y＝－1在点x＝4处的导数是________．

x11＋

44＋Δx解析：∵Δy＝－4＋Δx－211＝－＝

24＋Δx24＋Δx＝∴.

24＋Δx（4＋Δx＋2）Δy1＝.

Δx24＋Δx（4＋Δx＋2）

＝11＝.

2×4×（4＋2）161.

16Δx∴y′|x＝4＝1答案：

167．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．

(1)求此物体的初速度；

(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；

(3)求t＝0到t＝2时平均速度．

即物体的初速度为3 m/s.

即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．

s（2）－s（0）6－4－0(3)v＝＝＝1(m/s)．

22－0即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s. 8．路灯距离地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度从路灯O在地面上的射影点O′沿某直线离开路灯，求人影长度在任意时刻t0的瞬时变化率．

解：如图，

设人的高度为AB，则AB＝1.6，人的影子长AC＝h，

1.6h84 m/min＝1.4m/s，由直角三角形相似得＝，

8h＋1.4t

第2课时

导数的几何意义

[核心必知] 1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P76～P79的内容，回答下列问题．

观察教材P77图3.1－2，回答下列问题．

(1)割线PPn的斜率kn是什么？

提示：割线PPn的斜率kn＝Δynf（xn）－f（x0）＝．

Δxnxn－x0(2)当点Pn趋近于点P时，割线PPn与过点P的切线PT有什么关系？

提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于过点P的切线PT．

(3)当Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？

提示：kn无限趋近于切线PT的斜率k．

(4)如何求得过点P的切线PT的斜率？

提示：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即

2．归纳总结，核心必记

(1)导数的几何意义

函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即(2)导函数

从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝[问题思考] (1)若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？

提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

(2)函数y＝f(x)的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f′(x1)、f′(x2)和f′(x3)的大小吗？

. .

提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kA>kB，在C处的切线斜率小于零，所以f′(x1)>f′(x2)>f′(x3)．

(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？

提示：不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．

(4)f′(x0)与f′(x)有什么区别？

提示：f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数．

[课前反思] (1)导数的几何意义是：

；

(2)导数的概念是：

；

(3)如何求函数f(x)在x＝x0处的切线方程？

．

[思考1]

直线的点斜式方程是什么？

提示：y－y0＝k(x－x0)．

[思考2]

如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？

名师指津：根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．

[思考3]

曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？

名师指津：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．

讲一讲

1．已知曲线y＝x2，

(1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(3，5)的切线方程．

[尝试解答]

(1)设切点为(x0，y0)，

∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，

即y＝2x－1. (2)点P(3，5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)，

由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，

∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，

由P(3，5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)，①

再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x20，②

联立①，②得x0＝1或x0＝5.

从而切点为(1，1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，

此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，

当切点为(5，25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，

此时切线方程为y－25＝10(x－5)，

即y＝10x－25. 综上所述，过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.

利用导数的几何意义求切线方程的方法

(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．

练一练

1．已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在x＝1处的切线方程；

(2)求第(1)问中的切线与曲线C的公共点．

Δy（x＋Δx）3－x3解：(1)∵＝

ΔxΔx＝3x2＋3Δx·x＋(Δx)2，

又x＝1时，y＝1，

∴切线方程为y－1＝3(x－1)，

即3x－y－2＝0. 3y＝x，(2)由得x3－3x＋2＝0，

3x－y－2＝0，即x3－x－2x＋2＝0，(x－1)2(x＋2)＝0.

解得x＝1或x＝－2，

∴切线与曲线C的公共点为(1，1)和(－2，－8)．

[思考]

如何处理切点问题？

名师指津：切点问题的处理方法：

(1)借斜率先求横坐标：由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标．

(2)与几何知识相联系：解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，两直线平行或垂直与斜率的关系等．

讲一讲

2．若曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，求P点坐标及切线方程．

[尝试解答]

设P点坐标为(x0，y0)，

Δyf（x0＋Δx）－f（x0）＝

ΔxΔx3（x0＋Δx）3－3（x0＋Δx）2＋1－x0＋3x20－1＝＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0.

Δx2＝3x20－6x0，于是3x0－6x0＝9，解得x0＝3或x0＝－1，

因此，点P的坐标为(3，1)或(－1，－3)．

又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x＋1)－3，即y＝9x－26或y＝9x＋6.

根据切线斜率求切点坐标的步骤

(1)设切点坐标(x0，y0)；

(2)求导函数f′(x)；

(3)求切线的斜率f′(x0)；

(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；

(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．

练一练

2．已知曲线y＝2x2－a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标及a的值．

解：设切点P(x0，y0)，

＝4x，

得k＝y′|x＝x0＝4x0. 根据题意4x0＝8，x0＝2，

代入8x－y－15＝0得y0＝1.

故所求切点为P(2，1)，a＝2x20－y0＝7.

讲一讲

3．(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的

(

)

(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(

)

[尝试解答]

(1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.

(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A. [答案]

(1)A

(2)D

导数与函数图象升降的关系

若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．

练一练

3．如图，点A(2，1)，B(3，0)，E(x，0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线

l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的(

)

解析：选D

函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0，2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0，2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；

当x∈(2，3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2，3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；

当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，

＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．

—————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————

1．本节课的重点是求曲线在某一点的切线方程及导数几何意义的应用，难点是求曲线的切线方程．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)求曲线的切线方程的方法，见讲1；

(2)已知曲线的切线求切点坐标，见讲2；

(3)导数几何意义的应用，见讲3. 3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上，这是本节课的易错点．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的曲线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在曲线上，则先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点

.

课时达标训练（十四）

[即时达标对点练]

题组1

求曲线的切线方程

1．曲线y＝x3＋11在点(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(

) A．－9

B．－3

C．9

D．15

∴切线的方程为y－12＝3(x－1)．

令x＝0得y＝12－3＝9. 112．求曲线y＝在点2，2的切线方程．

x

1所以曲线在点2，2的切线斜率为

1k＝y′|x＝＝－4. 21x－，即4x＋y－4＝0. 故所求切线方程为y－2＝－42题组2

求切点坐标

3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(

) A．a＝1，b＝1

B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1

D．a＝－1，b＝－1 解析：选A

∵点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，∴b＝1.

∴过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1. 4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P坐标为________．

解析：设P(x0，2x20＋4x0)，

又∵f′(x0)＝16，

∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3，30)．

答案：(3，30) 5．已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．

(1)切线的倾斜角为45°；

(2)切线平行于直线4x－y－2＝0；

(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0. 2解：设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)，

∴Δy＝4x0＋2Δx，

Δx

(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，

∴斜率为tan 45°＝1，

1即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，

419∴切点坐标为4，8.

(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，

∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，

∴切点坐标为(1，3)．

(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，

1－＝－1，即k＝8.故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2.

∴k·8∴切点坐标为(2，9)．

题组3

导数几何意义的应用

6．下面说法正确的是(

) A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)点(x0，f(x0))处没有切线

B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在

C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在

D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在

解析：选C

根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．

7．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(

) A．f′(x0)>0

B．f′(x0)<0 C．f′(x0)＝0

D．f′(x0)不存在

解析：选B

根据导数的几何意义，f(x)在x0处的导数即f(x)在x0处切线的斜率，故f′(x0)1＝－<0. 28．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是(

)

解析：选D

不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量Δx，那么弦AB与弧AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；

当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；

从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．

由上可知函数y＝f(x)图象的上升趋势应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确．

9．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，

则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号)．

解析：由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故②符合．

答案：②

[能力提升综合练] 1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(

) A．不存在

B．与x轴平行或重合

C．与x轴垂直

D．与x轴相交但不垂直

答案：B 12．曲线y＝在点P(2，1)处的切线的倾斜角为(

) x－1πππ3πA.

B.

C.

D.

6434－Δx111解析：选D

Δy＝－＝－1＝，2＋Δx－12－11＋Δx1＋Δx3π斜率为－1，倾斜角为. 43．曲线y＝x3－2x＋1在点(1，0)处的切线方程为(

) A．y＝x－1

B．y＝－x＋1 C．y＝2x－2

D．y＝－2x＋2 解析：选A

由Δy＝(1＋Δx)3－2(1＋Δx)＋1－(1－2＋1)＝(Δx)3＋3(Δx)2＋Δx

所以在点(1，0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1，0)，根据直线的点斜式可得切线方程为y＝x－1. 4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为(

) A．(1，0)

B．(2，8) C．(1，0)或(－1，－4)

D．(2，8)或(－1，－4)

由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3x21，P0的坐标为(1，0)或(－1，0＋1＝4，解得x0＝±－4)．

5.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A、B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“<”或“>”)．

解析：f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f′(a)>f′(b)．

答案：> 6.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，则f(4)＋f′(4)＝________．

解析：由题意，f′(4)＝－2.

f(4)＝－2×4＋9＝1.

因此，f(4)＋f′(4)＝－2＋1＝－1.

答案：－1 7．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：

(1)甲、乙二人哪一个跑得快？

(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？

解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大，故乙跑得快；

(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大，故快到终点时，乙跑得快．

8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象，结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．

解：如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：

在t＝1.5 s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间，曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 s后，曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．