习题4.1教学设计及教案分析

“圆”来如此

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圆的三种定义及其应用

同安一中

王一棋

【教学目标】

（1）知识与技能

了解圆的三种定义，并学会利用定义解决与之相关轨迹问题及最值问题. （2）过程与方法

努力创设轻松、愉快的课堂环境，使学生处于积极思考，大胆猜想的氛围中，让学生经历知识构建过程，体会从特殊到一般的数学思想。

（3）情感态度价值观

通过本节课的教学，让学生体会从特殊到一般的知识构建的思想方法，由课本探究，激发学生学习热情，提高学生学习的兴趣，培养学生学习的兴趣，培养学生勇于探究、创新的科学精神. 【教学重点】

圆的三种定义

【教学难点】

圆的三种定义的应用

【教学过程】

一、圆的标准定义

（B组1）等腰三角形的顶点A的坐标是4,2，底边一个端点B的坐标是3,5，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形. 注：此处涉及求轨迹的方法，简要概述一下

建系——设点——列式——化简——检验

解析：设另一端点C的坐标为(x,y). 依题意,得|AC|=|AB|.

由两点间距离公式,得x42y22432252.

整理,得x4y210

22这是以点A(4,2)为圆心,以10为半径的圆,如图. 又因为点A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共线, 即有点B,C不能重合. 所以C点的横坐标x3

而且点B,C不能为一直径的两端点,

所以x34,点C的横坐标x5

522故端点C的轨迹方程是x4y210x3,x5

即C的轨迹是以A(4,2)为圆心、10为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点. 应用1：B组2长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上的滑动，求线段AB的中点的轨迹方程

二、圆的直径式

（A组5）已知圆的一条直径的端点分别是Ax1,y1，Bx2,y2，求证此圆的方程是xx1xx2yy1yy20. 证明：Ax1,y1,Bx2,y2是圆的一条直径的端点，

∴线段AB的中点Ox1x2y1y2,是圆的圆心（注释：圆心在直径的垂直平分线上）

22线段AB的长度是圆的直径2rx1x22y1y22（注释：根据两点间的距离公式）

222半径长为rx1x22y1y2222xx2yyxxy1y2∴圆的标准方程为x1（注释：根据圆y1212224的标准方程）

整理得xx1xx2yy1yy20

∴以点Ax1,y1,Bx2,y2为一条直径的端点的圆的方程为xx1xx2yy1yy20

此题可用向量法解决，设圆上任意一点Mx,y，由MA可证得

若将此题拓展：（1）点M在圆外，当且仅当xx1xx2yy1yy20

（2）点M在圆内，当且仅当xx1xx2yy1yy20

应用2：如图所示，已知点C的坐标是（2，2），过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程.

分析：此题有多种解法，不同的解法源于对“”的不同理解和“翻译”。解决解析几何的问题，最主要的工作是如何将文字语言“翻译”成为数学语言，进而求解问题。借鉴此题可指导学生从多个角度对已知条件进行转化，提高学生的思维能力。

设M的坐标为（x,y）. 若直线CA与x轴垂直，则可得到M的坐标为（1，1）. 若直线CA不与x轴垂直，设直线CA的斜率为k，则直线CB的斜率为-，故直线CA方程为：y=k(x-2)+2, 令y=0得x=2-,则A点坐标为. CB的方程为：y=-(x-2)+2,令x=0,得y=2+，

则B点坐标为，由中点坐标公式得M点的坐标为

消去参数k得到x+y-2=0 (x≠1), 点M（1，1）在直线x+y-2=0上，

综上所述，所求轨迹方程为x+y-2=0.

解法1：设点A、M的坐标分别为（t,0）,(x,y) (1)当t2时，直线CA的斜率

所以，

直线CB的方程为

令得，即点B的坐标为（0，4t）. 由于点M是线段AB的中点，由中点坐标公式，得

由得

即

（﹡）

（2）当t=2时，可得点A、B的坐标分别为（2，0）、（0，2），此时点M的坐标为

（1，1），仍然满足方程（﹡）。

由（1）、（2）可知，方程（﹡）是点M的轨迹方程，它表示一条直线。

解法2：（1）利用直线过定点C（2，2），设直线CA的斜率为，设点M（）

则直线CA的方程为，则

直线CB的方程为，则

由中点坐标公式，得

两式相加得. （2）再讨论不存在，和的情况。

这两种解法是解析几何问题的常规解法，区别就在于设的变量不一样。解法1设A点横坐标为变量，表示出M点坐标。解法2设直线斜率为变量，表示出M点坐标。注意点就是需要对直线斜率的存在性问题进行讨论。

解法3：利用向量求解。

设M（x,y），由于点M是线段AB的中点，故A（2x,0）B(0,2y). 所以

由，得

解法4：利用直角三角形斜边中线的性质求解。

即，解得

平面内两直线互相垂直的问题是平面几何和立体几何中常见的一类问题，这类问题在提高学生思维能力方面有重要作用，解法很多，不同解法的复杂程度不尽相同。因此在解析几何教学中，除了要培养学生会把文字语言“翻译”为数学语言外，还有培养学生思考哪种“翻译”效果更好，指导学生从多个角度理解数学概念和数学思想方法，加强知识之间的联系。圆锥曲线问题的解决，回归定义，从图形的几何特征分析，有时能够找到非常简单的解题方法，极大地提高解题效率。一题多解，可以在更广泛的范围内巩固所学的知识和方法，形成知识网络，将所学知识灵活的串到一起，做到一题多用，达到解一题，会一片的效果，培养学生思维的灵活性。多解求优，辨析各种方法的解题规律，在多种思路中找到最优的方案，培养学生思维的严谨性，增强学生的学习能力。

三、阿波罗尼斯圆

（B组3）已知点M与两个定点O0,0，A3,0的距离的比为1，求点M的轨迹方程

2

OM211222222解：Mx,yOMxy

AM(x3)y



2AM42x2y2122

所以点M的轨迹方程是：3x3y6x90

22x3y4（06四川）已知两定点A(2,0)，B(1,0),如果动点P满足条件PA2PB,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于_____ 解:设P点的坐标为(x,y), 则x2y24x1y2,即x2y24, 2222所以点的轨迹是以2,0为圆心,2为半径的圆, 所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4.

通过问题的观察比较，我们有什么发现

【学生活动，提出猜想】

PA，PB当0且1时，点P的轨迹是一个圆。称之为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。（当1时，点P的轨迹是线段AB的垂直平分线）

阿波罗尼斯圆定理：在平面上给定两点A，B，设点P在同一平面上，且满足阿波罗尼奥斯(Apollonius of Perga，约公元前262~190年)，古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名。他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地！

【学生活动，验证猜想】

定理证明：设AB2a，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则Aa,0Ba,0设M(x,y)

MA22得MA2MB，即xa2y22xa22y2

MB【师生合作，完善定理】

①当1时，得x0

,也就是线段AB的垂直平分线（定义这样的直线为阿波罗直线）；

由②当1时，方程（1）变形得：xy222a1212xa20，化成标准形式：

12a2xay2211r2a的圆。

2122221a,02，这是以2为圆心，且半径1简整理得1x1y2a2ax1a0

2222222

定理的几何意义：

定理的应用：

【学生活动，完成例题及变式】

应用3.（2008年高考数学江苏卷）若AB2，AC2BC，则SABC的最大值？

．

2解:显然这是一例阿波罗圆，建立如图的直角坐标系，得：x3y8.设圆心为M，2显然当CM⊥x轴时，△ABC面积最大,此时CM22,SABCmax122222.

2

评注：既然△ABC存在，说明其轨迹不包括与x轴的两个交点P,Q，现在问：P,Q这两点究竟有什么性质？由于PACA2，∴CP为△ACB的内角平分线；同理，CQ为△ACBPBCB的外角平分线. 这就是说，P,Q分别是线段AB的内分点和外分点，而PQ正是阿氏圆的直径.于是“阿波罗尼斯圆”在我国又被称为“内外圆”．因此，题2又有如下的轴上简洁解法: ∵动点C 到定点A ( - 1，0 ) 和B（1，0）距离之比为2, 则有

|x1|2|x1|x22x12x22x1x26x10x322,∴得x1322为内分点，x2322为外分点．圆半径r1x2x122，即为2三角形高的最大值，即△ABC 高的最大值是22.故△ABC的面积的最大值是22. 应用4：（13年江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A0,3，直线l:y2x4。设圆C的半径为1，圆心在l上。若圆C上存在点M，使MA2MO

，求圆心C的横坐标a的取值范围。

2解：设点Mx,y，由MA2MO，知x2y32x2y2

化简得：x2y124，

即：点M的轨迹为以(0,1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．

又因为点M在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切．

2故：1CD3，其中CDa22a3

解之得：0a课后巩固

12

5在等腰ABC中，ABAC，D为AC中点，BD3，则ABC的面积最大值为

小结

1 圆的三种定义：标准式

直径式

阿波罗尼斯圆

2 三种定义的应用

3 数学思想方法：

化归与转化

数形结合

解析法