信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：圆教学设计第二课时

用《几何画板》探究点的轨迹：圆

一、内容与内容解析

内容：用《几何画板》探究点的轨迹

内容解析：本节课是位于人教A版必修2第四章

圆与方程章末的信息技术应用部分，是这册数的最后一个内容，《普通高中数学课程标准》（2017年版）提出要更注重信息技术与数学学习的深度融合，所以为贯彻新课标的理念，我把这个信息技术应用设计为一节轨迹探究课，使学生感受信息技术在轨迹探究中的重要作用，积累基本活动经验和基本探究方法（如轨迹交点法），为后续圆锥曲线的学习奠定基础。另外，在历年高考中，阿波罗尼斯圆经常出现，是一个重要内容。

二、目标与目标解析

1.

理解阿波罗尼斯圆的定义，并了解数学家阿波罗尼斯。

2.

学会用“轨迹交点法”来探究动点轨迹，并指导今后的轨迹探究。

3.

会用阿波罗尼斯圆的定义解决简单问题。

4.

能熟练运用坐标法解决问题。

教学重点：用轨迹交点法探究动点轨迹，并掌握阿波罗尼斯圆的定义。

教学难点：用轨迹交点法探究动点轨迹，及阿波罗尼斯圆定义的应用。

三、教学问题诊断分析

1.

学生可能首次接触轨迹的自主探究，缺乏基本经验，找不到探究的方向。

2.

用“轨迹交点法”探究动点轨迹，难度不小，教师需适时指导。

3.

以直观想象代替理性思维，经探究得到轨迹是圆的直观形象后而不加证明，这是不严密的。教师需引导学生数形结合，引入坐标系解决问题。

四、教学媒体设计

多媒体电子白板、投影仪、几何画板软件。

五、教学过程设计

（引导语）圆是平面内到定点距离等于定长的点的轨迹。

若“一个定点”改为“两个定点”，同时将动点到两定点的距离“作运算”，不难提出下面的轨迹问题：

1.到两定点距离之和为常数的点的轨迹；

2.到两定点距离之差为常数的点的轨迹；

3.到两定点距离之积为常数的点的轨迹；

4.到两定点距离之商（比）为常数的点的轨迹。

本节课，先学习到两定点距离之比为常数的点的轨迹。

（一）轨迹探究：已知两定点A,B,动点P满足PAPB2,试探究点P的轨迹。

问题1：你能找到一个点P，使得PAPB2吗？

设计意图：(1)学生动手操作，找到满足题意的几个特殊的点P(如图1，以定比2分线段AB的内、外分点P1,P2,联想到直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，而得到P3,P4。),尤其是P1,P2两点，实际上是阿氏圆的直径端点，这为后续进一步印证埋下了伏

笔。

（2）让学生参与探究，体会到这样的点是可以找到一些的，但大多数是比较困难的，这为问题2的提出起到铺垫作用。

学生活动：动手操作，找满足条件的特殊点P。

（1,P2P3,P4）教师活动：组织学生板演，画出P，同时白板呈现。并追问学生：你认为除了（1,P2P3,P4）找到的这些点，还有其他满足题意的点吗？如果有，可以先大概勾勒出一个满足题意的点P的位置，而后探究。

（图1）

问题2：如何作出一般的点P，使得PAPB2？

设计意图：使学生充分思考，获得作出一般点的方法，为下一步探究奠定基础。

教学预设：学生能答出的可能性不大，这是本节课的难点之一，必要时学生可合作探究，教师也可做适当引导，提出“轨迹交点法”。

教师活动：（引导）比如：当PB2时，PA4，先引导学生明确满足PB2、PA4的轨迹分别是什么，两者同时满足又如何。使学生获得（轨迹交点法）这种找点P的一般方法。

这样就又得到两个点P5,P6，不断改变PB,PA的取值，重复上面的过程，就会得到更多的满足题意的点P。

（图2）

学生活动：小组合作，讨论获得一般点P的方法。

问题3：探究点P的轨迹是什么？

设计意图：继续使学生动手操作，合作探究，经历自主获取轨迹的过程，通过尽可能多的几组圆取交点，获得轨迹是圆的直观猜想。

学生活动：动手操作，不断体验轨迹交点法，获得轨迹是圆的猜想。

教师活动：

（1）待学生获得轨迹是圆的直观猜想后，投影仪展示各小组中好的学习成果；

（2）借助几何画板展示更准确、连贯的轨迹形成过程，令学生再次获得轨迹是圆的直观感受；

（3）观察图3，P，你能发现什么规律？（P1,P2及“轨迹圆”1P2是圆的直径）

（图3）

问题4：你凭什么认为点P的轨迹是圆？

设计意图：用坐标法验证猜想，培养学生严密的数学思维习惯。

教学预设：

（1）在学生获得坐标法后，可能会使用不同的建系方式来得到点P的轨迹方程：

①

以A、B所在直线为x轴，A为坐标原点建系，得到的点P的轨迹方程为(x8)2y216。

②

以A、B所在直线为x轴，B为坐标原点建系，得到的点P的轨迹方程为(x2)2y216。

③

以A、B所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建系，得到的点P的轨迹方程为(x5)2y216。

（2）几何法探究：设点G为P1P2的中点，则

1ABABBPBP12PBPGGBPG1PG3PGAB2234PAPBBAPGAB3

412222而PA2PB,所以PA4PB，进而,(PGAB)4(PGAB),经整理得3322122PGAB,故PGAB2,所以点P的轨迹是以点G为圆心，2为半径的圆。

273学生活动：经历先建系，得到点P的轨迹方程，而后确认轨迹的过程。

教师活动：在汇总各个小组的成果之后（可用投影仪展示），让学生明确轨迹是圆的结论是可靠的，且P1P2为圆的直径。

问题5：将条件“PAPB“2”改为：PAPB，“3”PAPB，... ...“4”PAPB”

后，你认为轨迹还是圆吗？若是，圆的半径如何变化?

设计意图:继续使学生体验坐标法，进而获得轨迹圆的半径r、及AB间的定量关系：r21AB。

学生活动：用坐标法求P的轨迹方程，进而获得圆的半径。

不妨设ABm，,以A、B所在直线为x轴，A为坐标原点建系，则A(0,0)，B(m,0)，设P(x,y)，由PAPB，x2y2(xm)2y2，整理可得点P的轨迹方程为

m22m(x2)y2(2)2。所以点P的轨迹是圆，且半径为2AB。

111教师活动：（1）先引导学生获得解决问题的方法（坐标法、几何法）。

（2）待学生得到P的轨迹方程之后，明确了圆的要素，并引导学生桂南探究结果给阿氏圆下定义，简要介绍数学家阿波罗尼斯，渗透数学文化。

定义

在平面内给定相异的两定点A,B,设P在同一平面上，且满足PAPBk(k为常数),当k0且k1时，P的轨迹是一个圆. 这里，设P1，P2分别为线段AB按定比k分割的内分点和外分点，则P1P2]为圆的直径，且P1P2

2kAB. 2k1

由于这一轨迹最早是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，后人为了纪念他，称这个圆为阿波罗尼斯圆.

人物简介

阿波罗尼斯(约公元前262~190年),

古希腊数学家，与欧几里得、阿基

米德齐名。

他的著作《圆锥曲线论》

是古代世界光辉的科学成果，它将

圆锥曲线的性质网罗殆尽，

几乎使

后人没有插足的余地。其中，阿波罗

尼斯圆是他的论著中一个著名的问题.

（二）应用

例1

已知两定点A(2,0),B(1,0),如果动点P满足PA2PB,求点P的轨迹所围成的图形的面积。

设计意图：使学生把握好阿氏圆的几何特征，并能熟练求出圆的方程，进而获得半径，求出圆的面积。当然，还可以直接利用阿氏圆的半径公式解决问题。

解析：过程略。

法一、轨迹方程为(x2)2y24，从而r2，S4。

法二、r2AB32，S4

213例2 满足AB2,AC2BC的ABC面积的最大值为 。

设计意图：发现隐身的阿氏圆，并能灵活运坐标法建立圆的方程，获取半径。当然，也可以利用阿氏圆半径公式直接解决。

法一、以A、B所在直线为x轴，A为坐标原点建系，得到的点C的轨迹方程为

(x4)2y28，数形结合可知，高的最大值为22，所以面积的最大值为22。

法二、r21AB2，Smax22。

(三)小结

让学生自主归纳，本节课所学：

（1）学到了什么知识？

如：阿波罗尼斯圆的定义，数学家阿波罗尼斯

（2）学到了什么方法？

如：轨迹交点法、数形结合

六．目标检测设计

（1）必修2课本第124页B组第3题，第144页复习参考题B组第2题；

（2）查阅并了解定比分点的概念，加深对阿氏圆的理解；

（3）运用轨迹探究法，并借助信息技术自主探究“平面内，到两定点距离之比为常数的点的轨迹”。