习题2.3教学设计与反思

2.3.1直线与平面垂直的判定

广州市东圃中学 孙雪倩

一．教学设计

内容和内容解析

本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。

直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法；直线与平面垂直的判定定理本节是通过折纸试验来感悟的，即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了，它把原来定义中要求与任意一条（无限）垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，也就是说，线不在多，相交则灵。直线与平面垂直的判定方法除了定义法、判定定理外，还有如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，这是直线与平面垂直判定的一种间接方法，也是十分重要的。

本节学习内容蕴含“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等丰富的数学思想。

空间中直线与平面垂直问题是连接线线垂直和面面垂直的桥梁和纽带，可以说线面垂直是立体几何的核心。

目标和目标解析

目标

1、知识与技能

（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；

（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；

（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。

2、过程与方法

（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；

（2）探究判定直线与平面垂直的方法。

3、情感态度与价值观

培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，培养学生分析问题、解决问题的能力；同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”

等数学思想.。

目标解析：

1.利用已有知识与生活经验，抽象概括出直线与平面垂直的定义；

2.通过概括、辨析与应用，正确理解直线与平面垂直的定义；

3.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理；

4.能运用直线与平面垂直的判定定理，证明和直线与平面垂直有关的简单命题.

教学问题诊断分析

学生已经学习了两条直线（共面或异面）互相垂直的位置关系，学***面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，这为学生学***面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。

学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何从折纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定理。在探究直线与平面垂直的判定定理过程中，学生对“为什么要且只要两条相交直线”的理解有一定的困难，因为定义中的“任意一条直线”是指“所有直线”，这种用“有限”代替

“无限”的过程会导致学生形成理解上的思维障碍.同时，在运用直线与平面垂直的判定定理时，有些学生不知如何选择已知平面内的两条相交直线，从而导致证明过程中无从着手或发生错误. 教学的重点是直线与平面垂直的定义和直线与平面垂直判定定理的探究；教学的难点是操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。

教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，根据问题诊断分析和学习行为分析，

教师准备：观察和通过多媒体课件（以PowerPoint为平台）展示现实生活中的实例与图片，以直观感知直线与平面垂直的形象；准备三角板、三角形纸片，用于探究直线与平面垂直的判定定理；制作多媒体课件动态演示，以加深对直线与平面垂直定义及判定定理的感知与理解。学生自备：三角形纸片（任意形状）、笔（表直线）、课本（表平面）等学具. 教学过程

一．引入课题

1.从实际背景中感知直线与平面垂直的形象

问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？

设计意图：此问基于学生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”。

问题2：在课室里有没有直线与平面相交的情形？在直线与平面相交的模型中，你认为哪种相交最特殊？

设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平

面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义。

问题3：在直线与平面相交的模型中（位置关系中），你认为哪种相交最特殊？

生：直线与平面垂直．

师：今天我们就来研究这种关系（板书出示课题）．

设计意图：引出课题，并伴以学生的动手操作、举例、想象和语言叙述．注意知识的系统与联系；强调学生生活经验的作用．这样容易唤起在“直线与平面平行”的学习中形成的经验，从而明确“研究什么”和“怎样研究”，使学习的自觉性得到提高．

二．探究新知

探究一：直线和平面垂直的定义

（1）创设情境——感知概念

观察图一：如果将桥柱和塔身看成直线，那么它们与地面有什么关系？

设计意图：提炼直线与平面垂直的定义，线面垂直定义比较抽象，若直线直接给出，学生只能死记硬背，因此，在教学中，利用收集的图片进行感知，使得学生对直线与平面垂直的概念获得一定的感性认识，为归纳出直线与平面垂直的概念作准备。引导学生叙述定义

直线与平面垂直的定义：如果直线与平面平面互相垂直，记作内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与的垂线，平面叫做直线的垂面，直线．直线叫做平面与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．（引导学生给出符号语言表述：若，则)

[来源:Zxxk.Com0]

问题2：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？

设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念．通过对问题（2）的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的性质．

【练一练1】：判断下列语句是否正确：

1.

如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直。 （ ）

如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直。（ ）

设计意图：加深同学们对直线垂直平面的定义理解和巩固

探究二：直线和平面垂直的判定定理

通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验．这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法．

动手操作：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）．

A

D C D BC A 同学们看，此时的折痕AD与桌面垂直吗？

引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面表述直线和平面垂直的判定定理．

文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

图形语言：

符号语言：l,la,lb,a,b,则l.

师归纳：线不在多，相交则灵。

【练一练2】：已知正方体ABCDA1B1C1D1.判断：

（1）直线AD与哪些平面垂直？（2）直线CC1与哪些平面垂直？

D1C1

A1

AB1DBC

设计意图：加深同学们对直线与平面垂直的判定定理的理解和应用。

三．应用新知（直线与平面垂直判定定理的应用）

例1 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。

求证：BC⊥面PAB

P

A

BC

设计意图：巩固练***面垂直的判定定理的应用，注意证明题目的步骤书写和思维练习。

【变式练习】如图，圆o所在一平面为，AB是圆o的直径，C是圆周上一点,且PAAC,PAAB。求证：（1）PABC；（2）BC平面PAC。

P

A B O

C

思考：图中一共有多少个直角三角形？

设计意图：通过变式练习培养学生熟练地进行线线垂直和线面垂直之间的转化，从而使他们能够对定义和判定定理进行灵活应用．在三棱锥P-ABC中有四个直角三角形，分别是：△ABC、△PAB、△PAC和△PBC．

例2、三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。

（1）求证：AC ⊥平面VKB （2）求证：VB ⊥AC

A

K

C

V

B

设计意图：通过在简单的直接应该直线与平面垂直的判定定理基础上，综合一下判定定理的应用，熟练掌握判定定理的应用。

四、总结回顾——提升认识

线线垂直线面垂直的定义

线面垂直

线面垂直的判定定理

如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．

（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？试用自己理解的语言叙述。

（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？

设计意图：以问题讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生运用自己理解的语言对问题进行质疑和概括。

【课后思考】：如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．

求证：(1) CD⊥PD；(2) EF⊥平面PCD．

设计意图：检测本节课的知识与技能目标，检测运用知识解决问题的能力；