小结优秀教学设计内容

课题：高考中有关球体问题的求解策略

---教学设计

授课人：广州市南沙第一中学

杨宜军

授课班级：高三（4）班

时间：2019年5月13日

一．

教学目标

通过近几年高考题中球体问题的回顾，以及近一年的各地模拟考中出现的球体问题的探讨引导学生去研究球体问题的求解策略。

二．

学情分析

学生通过近一年高三全面复习，已经对球体问题进行了两轮复习，学生对球体的问题的求解已经有了一些初步的认识和了解。

三．

教学内容分析

通过近几年高考中球体问题的考题回顾以及近一年来各地市模拟考中球体问题的解法探讨，研究总结出高考中球体问题的类型，解决方法，求解策略，培养学生直观想象的数学学科的核心素养。

四．教学环节与活动

（一）近几年高考题回顾

1．(2016年文科7)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是

A．17π

B．18π

C．20π

D．28π

试卷第1页，总7页

【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：

是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A．

考点

：

三视图及球的表面积与体积

，评析：由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键. 2（2017年文16）．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________。

【答案】36π

【解析】取SC的中点O，连接OA。因为SAA,CS,OBB所C以BOAS,COB

S

C因为平面SAC平面SBC

所以OA平面SBC

设OAr

VASBC131S31113OA2rrr

rSBC32332所以r9r3

所以球的表面积为4r36

（二）典型例题

例题1．（深圳试验，珠海一中联考15）在三棱锥，，且三棱锥中，底面的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为

_______

【答案】

根据题目所给的条件可得到相应的垂直关系，【分析】得到三角形ACD和三角形ABD均为直角三角形，有公共斜边AD，由直角三角形的性质得到AD中点为球心，进而得试卷第2页，总7页

到球的半径和面积. 【详解】因为三棱锥中，底面，所以，又因为，DC和CB相交于点C，故得到AB面BCD，故得到AB垂直于BD，又因为DC垂直于面ABC，故DC垂直于AC，故三角形ACD和三角形ABD均为直角三角形，有公共斜边AD，取AD中点为O点，根据直角三角形斜边的中点为外心得到O到ABCD四个点的距离相等，故点O是球心，求得半径为3，由球的面积公式得到S=故答案为：. . 评析：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.

练习.（惠州二模10）．已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为（

）

A．13317

B．210

C．

D．310

22【解析】由AB3,AC4,ABAC得BC5，则知ABC所在的球的截面圆的圆心在BC的中点M上，同理A1B1C1所在的球的截面圆的圆心在B1C1的中点N上，则球心O是MN的中点，故球的半径为R()(评析:此题运用补体法解决，非常直观，简单。

52212213).故选C．

22例题2．（安徽马鞍山一模11）在三棱锥，棱锥A．

，平面中，平面，，则三的外接球体积为

B．

C．

D．

【答案】C 试卷第3页，总7页

【分析】先根据面面垂直性质定理得平面，再根据正弦定理求的外接圆的直径，最后根据球心位置列式求半径，即得结果. 【详解】

平面平面

，

，所以，是边长为的等边三角形，

平面，平面平面，，平面，由正弦定理得的外接圆的直径为，则的外接球体积为，

，

．

所以，该球的直径为因此，三棱锥故选：．

评析：本题考查面面垂直性质定理、正弦定理以及外接球体积，考查综合分析求解能力，练习．（东莞一模）三棱锥的面积为2，则三棱锥中，平面ABC，，的外接球体积的最小值为

A．

B．

C．

D．

【答案】D 【分析】设和到平面，由的距离为，由平面的面积为2，得，进而得到外接圆的半径，在利用球的性质，得到球的半径，即可求解. 的面积为2，得，且，因为，的距离为，

【详解】如图所示，设外接圆的半径，因为，所以到平面，设球的半径为R，则当且仅当所以三棱锥时等号成立，

的外接球的体积的最小值为，故选D.

试卷第4页，总7页

评析：本题主要考查了有关球与棱锥的组合体问题，以及球的性质的应用和球的体积公式，其中解答中正确认识组合体的结构特征，合理应用球的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.

例题3．（上学期期中考试11）在封闭的正三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球，AB＝6，AA1＝4，则V的最大值为

答案：π

评析：近一年模拟题中出现外接球比较多，内切球比较少，但是也必须引起大家高度关注。解决的关键还是找到球心，确定球体的半径的大小。

（三）课后思考题

1.（惠州三调16）．如图，将边长为2的正着高折起，使沿，若折起后、、、四点都在球的表面上，则球的表面积为_____平方单位.

答案．DM＝CM△BCD中，BD＝1，CD＝1，∠BDC＝60°，底面三角形的底面圆半径为：，

AD是球的弦，DA，∴OM，∴球的半径OD．

该球的表面积为：4π×OD2π；故答案为：．

评析：本题属于球体问题与折叠问题结合问题，求解过程中可以运用正弦定理更容易解决。

2.（湖南长沙一中等联考）．已知四棱锥的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球的表面积等于_________.

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【答案】

的外心分别作相应面的垂线交【分析】先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形于O，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积. 【详解】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，

因为平面平面，连接AC,BD交于E，过E作面ABCD的垂线与过三角形ABS的外心作面ABS的垂线交于O，即为球心，连接AO即为半径，

令为∴sin可得故答案为外接圆半径，在三角形SAB中，SA=SB=3,AB=4,则cos，∴，计算得，

，∴，又OF=

，所以, . , 评析：本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心.

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五．教学评价：

通过本节的课堂教学，学生对于球体问题的求解有了一定的

认识，学生掌握了抓住了解决球体问题的关键是找出球体的

球心，求出球体的半径。注意结合线与面性质，正弦定理，

基本不等式等知识与球体知识的交汇，运用补体法，关注三

视图，折叠问题等。

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